0. 简介

在面对二维与三维之间的转换时，我们常常会困惑该如何去转换，在G2O中存在有理想的坐标转换工具，但是在Sophus中却缺乏这样的手段。之前在Sophus处简要的介绍了一下SE(2)与SE(3)的转换，最近发现之前的文章这部分需要拿出来详细的说一说。

1. 欧拉角与旋转向量

欧拉角、旋转向量、四元数和旋转矩阵是Sophus中常常提到的几个名词，欧拉角和旋转向量是类似的，SO(3)的旋转矩阵有9个量，但是只有3个自由度，并且是单位正交矩阵，具有冗余性，对其估计或优化问题的求解不方便。我们可以用一个旋转轴和一个旋转角描述任意旋转。一个方向与旋转轴一致，长度（模）等于旋转角的向量，我们称之为旋转向量(或轴角)。

旋转向量到旋转矩阵：

R = c o s θ I + ( 1 − c o s θ ) n n T + s i n θ n ^ R = cos\theta I+(1-cos\theta)nn^T+sin\theta \hat{n} R=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθn^

其中提到的 n ^ \hat{n} n^是向量的旋转矩阵，由于是反对称矩阵，所以只存在三个自由度，我们可以 X − Y − Z X-Y-Z X−Y−Z轴来规定其反对称矩阵轴:
n ^ = [ 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ] \hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \\ {n_z} && 0 && -{n_x} \\ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix} n^= 0nz−ny−nz0nxny−nx0

所以我们可以从se,so中得到旋转向量数值。而欧拉角对于轴角表示情况,转轴具有2个自由度,转角1个自由度。根据三次基本转动选取的坐标轴的不同，欧拉角共有12种组合。如果再考虑到可选取原始坐标系的坐标轴，也可选取“新”坐标系的坐标轴，则共有24种欧拉角表示。一般规定原始坐标系为静坐标系，每个基本转动后形成的新坐标系为动坐标系。

24 种欧拉角表示列举如下：
静轴(即转轴选静坐标系的坐标轴):
s X Y Z , s X Z Y , s X Y X , sXYZ,sXZY,sXYX, sXYZ,sXZY,sXYX,
s X Z X , s Y X Z , s Y Z X , sXZX,sYXZ,sYZX, sXZX,sYXZ,sYZX,
s Y X Y , s Y Z Y , s Z X Y , sYXY,sYZY,sZXY, sYXY,sYZY,sZXY,
s Z Y X , s Z X Z , s Z Y Z sZYX,sZXZ,sZYZ sZYX,sZXZ,sZYZ

动轴(即转轴选动坐标系的坐标轴):

r Z Y X , r Y Z X , r X Y X , rZYX,rYZX,rXYX, rZYX,rYZX,rXYX,
r X Z X , r Z X Y , r X Z Y , rXZX,rZXY,rXZY, rXZX,rZXY,rXZY,
r Y X Y , r Y Z Y , r Y X Z , rYXY,rYZY,rYXZ, rYXY,rYZY,rYXZ,
r X Y Z , r Z X Z , r Z Y Z rXYZ,rZXZ,rZYZ rXYZ,rZXZ,rZYZ

静轴欧拉角和动轴欧拉角有如下规律:
绕静轴 X Y Z XYZ XYZ 分别转 α , β , γ α,β,γ α,β,γ 角度的转动与绕动轴 Z Y X ZYX ZYX分别转 γ , β , α γ,β,α γ,β,α 角度的转动等价，其他形式的欧拉角亦有此类似规律。

对于不同的坐标系定义，有不同的转换关系。我们只讨论常用的一种情况：如上图，右手系，Z轴朝上，X轴朝前，y轴朝左。绕Z轴作偏航（Yaw）运动，绕Y轴作俯仰（Pitch）运动，绕X轴作滚转（Roll）运动，运动正方向如上图所示。
对于欧拉角计算公式我们可以得到 α , β , γ α,β,γ α,β,γ 三个角度计算得到的旋转矩阵

上式中 R R R与旋转次序有关，即当 θ z ， θ y ， θ x θz，θy，θx θz，θy，θx不都为小角时，对应于不同的旋转次序，空间坐标系b的最终位置时不同的，这就是有限转动的不可交换性。但是当 θ z ， θ y ， θ x θz，θy，θx θz，θy，θx都为小角时，忽略小角间的高阶小量,即： Δ x → 0 , c o s Δ x → 1 ， s i n Δ x → Δ x Δx→0,cosΔx→1，sinΔx→Δx Δx→0,cosΔx→1，sinΔx→Δx
R ≈ n ^ = [ 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ] R \approx \hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \\ {n_z} && 0 && -{n_x} \\ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix} R≈n^= 0nz−ny−nz0nxny−nx0

其中 θ z ， θ y ， θ x θz，θy，θx θz，θy，θx角度为弧度，此时 θ z ， θ y ， θ x θz，θy，θx θz，θy，θx构成的列向量 [ θ z ， θ y ， θ x ] T [θz，θy，θx]^T [θz，θy，θx]T可视为三维空间的（旋转）矢量，此时旋转后的坐标系的最终角位置与旋转次序无关：无限转动与旋转次序无关

2. SE(2)与SE(3)的转换

SE(2)，通常是作为二维向量的表示形式，基本的组成部分为 x , y , y a w x,y,yaw x,y,yaw三参数，其格式如下：

SE(3)则是在上式的基础上加入 z z z轴，其格式如下：

[ x w y w z w 1 ] = [ c 1 c 3 + s 1 s 2 s 3 c 3 s 1 s 2 − c 1 s 3 c 2 s 1 t w x c 2 s 3 c 2 c 3 − s 2 t w y c 1 s 2 s 3 − s 1 c 3 s 1 s 3 + c 1 c 3 s 2 c 1 c 2 t w z 0 0 0 1 ] × [ x y z 1 ] \begin{bmatrix} x_w \\ y_w \\ z_w \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3} && {c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3} && {c_2 s_1} && t_wx \\ {c_2 s_3} && {c_2 c_3} && -{s_2} && t_wy \\ {c_1 s_2 s_3 - s_1 c_3} && {s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2} && {c_1 c_2} && t_wz \\ 0 && 0 && 0 && 1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix} xwywzw1 = c1c3+s1s2s3c2s3c1s2s3−s1c30c3s1s2−c1s3c2c3s1s3+c1c3s20c2s1−s2c1c20twxtwytwz1 × xyz1

李群	SO(3)	SE(3)
旋转矩阵构建	`Sophus::SO3d SO3(R)`	`Sophus::SE3d SE3(R,t)`
四元数构建	`Sophus::SO3d SO3(q)`	`Sophus::SO3d SO3(q,t)`
输出	`SO3.matrix()`	`SE3.matrix()`
对数映射	`Vector3d so3=SO3.log()`	`Vecotr6d se3=SE3.log()`
指数映射	`SO3d::exp(so3)`	`SE3d::exp(se3)`
向量到反对称矩阵	`SO3d::hat(so3)`	`SE3d::hat(se3)`
反对称矩阵到向量	`SO3d::vee(hat)`	`SE3d::vee(hat)`

3. 示例代码

…详情请参照古月居

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