在信号处理领域，傅里叶级数（Fourier series）用来模拟非正弦的方波，通过它对非正弦方波的分解，将原始信号分解成若干个不同周期和频率的型号，从而实现对信号频谱的分析。通过对原函数的傅里叶级数展开，实现对原函数的无限逼近。它在信号处理、物理学等很多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数是具有傅里叶系数的三角级数，它得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。文章从无穷级数开始说起。

无穷级数

三角级数是无穷级数的一种，在了解三角级数之前，先了解一下什么是无穷级数。它的定义是：一个具有“一般项” 的无穷级数有下面的形式：

$a_1+a_2+\cdots=\sum_{\nu=1}^{\infty}a_{\nu}$

右边的带和符号是左边的一种缩写方式。当 $n$ 增加时，第 $n$ 个和

$s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{\nu=1}^{n}a_{\nu}$

趋向于一个极限

$S=\lim_{n \to \infty}s_n$

我们称 $S$ 为级数的和，并且这个级数是收敛的。否则我们说它是发散的。无穷级数研究的主要工作是分析它收敛性，判断它是否收敛于某个值或某个函数。一个级数收敛的必要条件是

$\lim_{n \to \infty}a_n=0$

常用的级数有幂级数，如：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

写成极限形式是

$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n$

或二项式级数

$\frac{1}{1+x}=(1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-+\cdots=\sum_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}x^{\nu}$

三角级数

三角级数是形如

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{\infty}(a_{\nu}\cos\nu x + b_{\nu}\sin \nu x)$

它是由无穷多个具有三角函数组成的项。傅里叶阐明了三角级数能表示一类广泛的“任意函数”。这类函数基本上包括了每一个特别重要的函数，不管是机械作图的方法从几何上定义的，还是用其他方法定义的，甚至具有跳跃间断的函数，或者不同区间上服从不同的形成规律的函数，都能用三角级数表示出来。通过 $\sin,\cos$ 函数很容易联想到常用的周期函数：简谐振动（谐振）。

谐振

我们知道谐振的一般表达式是

$f(x)=A\sin (\omega x +\varphi)$

有时也可用 $t$ (时间)表示 $x$ ，其中 $A$ ：振幅（曲线的峰值)； $\omega$ ：振动的圆频率（角速度); $(\omega x +\varphi)$ ：相位，而 $\varphi$ 表示当 $t=0$ 时的相位，简称初相。在有的书本中谐振也可以表示为：

$a\sin\omega(x-\xi) \quad or \quad a\cos\omega(x-\xi)$

其中， $a (\geq 0), \omega(\geq 0)$ 和 $\xi$ 都是常数。这些函数代表“正弦振动”或“简谐振动”。振动的周期为 $T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}$ 。数 $\omega$ 称为振动的圆频率或角频率； $\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ 称为单位时间内振动的次数或频率， $\omega$ 就是 $2\pi$ 时间内振动的次数。数 $a$ 称为振动的振幅；它代表函数

$a\sin\omega(x-\xi), a\cos\omega(x-\xi)$

最大值。数 $\omega(x-\xi)$ 称为位相，同时数 $\omega\xi$ 称为相位移或相移。其实它与谐振的一般表达式并没有什么实质区别，主要还是相位区别，对函数的周期性质没有影响。我们看看下面的两个谐振函数的图形：

$f(x)=\sin (x+\frac{\pi}{3}) \quad ; f(x)=\sin (x-\frac{\pi}{3})$

上图坐标轴使用的是弧度单位, 两个函数的 $\omega = 1$ ，可以看出它们区别在于在 $x=0$ 处的初始相位不同而已。而对于形如 $a\cos \omega(x-\xi)$ 的表达形式，我们通过三角函数的和差公式可知

$\sin x=\cos(x -\frac{\pi}{2}) \qquad \sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$

也就是说，它们之间只有 $\frac{\pi}{2}$ 初相位的不同。因此，对于后面的三角级数的讨论，我们只使用形如 $a\sin\omega(x-\xi)$ 谐振公式来讨论。

谐振公式的变换

根据三角函数的和差公式，可以对上面的谐振表达式做一下变换：

$a\sin\omega(x-\xi)=a\sin(\omega x-\omega \xi)$

$=a\sin\omega x\cos \omega \xi - a\cos\omega x \sin\omega \xi$

令 $\alpha=-a\sin\omega \xi, \beta=a\cos\omega \xi$ ,那么

$a\sin\omega(x-\xi) = \alpha\cos\omega x + \beta\sin \omega x$

在这里我们成功的将谐振函数表示成一个带有系数的 $\cos$ 和 $\sin$ 函数的相加，它与三角级数中和式项很接近了。为了验证这种变化的正确，我们将 $\sin(x-\frac{\pi}{3})$ 表示成 $\alpha\cos\omega x + \beta\sin \omega x$ 的形式(这里的 $\omega = 1, a = 1$ )：

$\alpha = -a \sin \omega \xi=-\sin \xi=-\sin(\frac{\pi}{3})$

$\beta = a \cos \omega \xi= \cos \xi=\cos (\frac{\pi}{3})$

$f(x)=\sin (x-\frac{\pi}{3})=-\sin(\frac{\pi}{3})\cos x + \cos(\frac{\pi}{3})\sin x$

我们通过图像得知，它们是完全相同的。

谐振的叠加

虽然许多振动都是纯正弦的，但大部分周期运动具有复杂的的特征，它是由若干正弦振动”叠加"而成的。在叠加过程中，具有相同圆频率 $\omega$ 的两个正弦振动的叠加所产生的是具有相同的圆频率另一个正弦振动。例如

$f(x)=\frac{1}{4}\sin(x-\frac{\pi}{3}) + \frac{3}{4}\sin(x-\frac{\pi}{3})=\sin(x-\frac{\pi}{3})$

上述两个正弦振动的圆频率 $\omega=1$ ，它们叠加后的效果如下：

但是具有不同圆频率 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 两个正弦振动的叠加后不再是是一个正弦振动。假设 $\omega_2=2\omega_1$ ，于是第二振动是第一个周期的一半，即 $\frac{2\pi}{2\omega_1}=T_2=\frac{T_1}{2}$ ，它不仅具有周期 $T_2$ ,而且具有周期 $T_1$ ，因为函数本身经过周期 $T_1$ 之后又周而复始。由此可见，由叠加所形成的函数必须具有同样的周期 $T_1$ 。圆频率为第一个振动的两倍，周期为其一半的第二个振动称为第一个振动（基波）的一次谐波。

我们把从基波到\ $(n-1)$ 次谐波的圆频率的振动都叠加起来，就得到一个形式为三角多项式的周期函数

$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{ n}(a_{\nu}\cos \nu \omega x + b_{\nu} \sin \nu \omega x)$

常数 $\frac{a_0}{2}$ 不影响周期性，加上它是为了以后计算方便, 这个函数包含 $2n+1$ 个任意常数 $a_{\nu},b_{\nu}$ ，当 $\omega=1$ 时，三角多项式就是

$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{ n}(a_{\nu}\cos \nu x + b_{\nu} \sin \nu x)$

傅里叶级数

阶数为 $n$ 的多项式

$f(x)=s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{ n}(a_{\nu}\cos \nu x + b_{\nu} \sin \nu x) \qquad (A)$

上面的公式表明函数 $f(x)$ 可以用一个 $n$ 阶的多项式来表示，它依赖于 $(2n+1)$ 个系数 $a_{\nu},b_{\nu}$ ，这些就是”傅里叶系数“。傅里叶级数的严格定义是：任意的一个分段连续并有分段连续的一阶和二阶导数的周期函数 $f(x)$ ，能够用一个无穷的”傅里叶级数“

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{ \infty}(a_{\nu}\cos \nu x + b_{\nu} \sin \nu x)$

来表示，从 $n \to \infty$ 是为了严格说明可以无限趋近于函数 $f(x)$ ，但实际应用上只需要展开有限的项。

傅里叶系数的计算

在对系数计算之前，我们先了解一下三角函数的正交关系, 三角函数的正交关系有下列重要的公式:

$\ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx= \begin{cases} 0 & \quad m \neq n,\\ \pi & \quad m=n \end{cases} \$

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \cos nx dx = 0;$

$\ \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx= \begin{cases} 0 & \quad m \neq n,\\ \pi & \quad m=n \end{cases} \$

为了计算公式 $A$ 中的傅里叶系数 $a_{\nu}$ ，我们需要对式中两边同时乘以 $\cos \mu x$ 并积分，形如：

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \mu xdx= \int_{-\pi}^{\pi}\Big[\frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^{ n}(a_{\nu}\cos \nu x + b_{\nu} \sin \nu x) \Big] \cos \mu xdx$

积分限就是三角函数的周期 $2\pi$ ，我们进一步对上述式子的右边进行展开，得到
$= \int_{-\pi}^{\pi}\Big[\frac{a_0}{2}\cos \mu x+a_{1}\cos 1 x\cos \mu x + b_{1} \sin 1 x \cos \mu x$

$+a_{2}\cos 2 x \cos \mu x+ b_{2} \sin 2 x \cos \mu x$

$+a_{3}\cos 3 x\cos \mu x + b_{3} \sin 3 x \cos \mu x$

$+\cdots+a_{n}\cos n x\cos \mu x + b_{n} \sin n x \cos \mu x \Big ]dx$

要计算上述积分是困难的，因此我们必须使用三角函数积分的正交关系来计算,根据该关系上式中含 $b_{\nu}$ 的项全为零，只剩下 $\nu=\mu$ 的项，因此：

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \mu xdx= \int_{-\pi}^{\pi}(\frac{a_0}{2}\cos \mu x+a_{\nu}\cos \nu x\cos \mu x)dx \quad \nu = \mu \quad \nu \neq 0$

进一步化简得到

$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \mu xdx=a_{\nu}\pi$

因此

$a_{\nu}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \nu xdx \qquad (B) \quad \nu=0,1,2,3\cdots$

为了使用公式 $B$ 能计算 $a_0$ ，故在多项式中加入 $\displaystyle\frac{a_0}{2}$ ，使用同样的方法可计算 $b_{\nu}$ ，不过两端乘以 $\sin\mu x$

$b_{\nu}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin \nu xdx \qquad \nu = 1,2,3,\cdots$

在确定傅里叶系数之后，我们就可以针对原函数展开，将原函数分解成一个具有多个频率和周期的三角多项式，傅里叶级数具有对原函数全局逼近的性质。

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