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题意简述

给定两个数列 a , b a,b a,b，长度均为 n ( < = 100000 ) n(<=100000) n(<=100000)， a , b a,b a,b中的数都互不相同。最小化每个数差的平方的和，形式化地，最小化:

然后输出交换次数对 99999997 99999997 99999997取膜的结果。

思路框架

显然，最优的时候就是 a , b a,b a,b都排好序的时候，那么我们把 a , b a,b a,b离散化，都看成 1 , n 1,n 1,n的排列，然后算 b b b需要多少步到 a a a。是一个类似逆序对的问题，用树状数组维护即珂。

具体思路

先化简一下那个式子。把平方拆开，会发现变成三个部分：

a i 2 a_i^2 ai2的和
b i 2 b_i^2 bi2的和
− 2 a i b i -2a_ib_i −2aibi的和

要让原式最小，那就要让 a i b i a_ib_i aibi的和最大。如何最大呢？那肯定是要排序之后一一对应。

but…Why?

只考虑 n = 2 n=2 n=2的情况。设有四个数， a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d，满足 a < b a<b a<b且 c < d c<d c<d。然后我们看看是 a c + b d ac+bd ac+bd大还是 a d + b c ad+bc ad+bc大，就珂以证出来上面那个排序了。

作差，得 ( a c + b d ) − ( a d + b c ) = d ( b − a ) + c ( a − b ) = ( a − b ) ( c − d ) (ac+bd)-(ad+bc)=d(b-a)+c(a-b)=(a-b)(c-d) (ac+bd)−(ad+bc)=d(b−a)+c(a−b)=(a−b)(c−d)。由于两个都是负的，所以这个数大于 0 0 0。所以 a c + b d ac+bd ac+bd比 a d + b c ad+bc ad+bc大。证毕。

然后我们要求的问题就是，我们要让 b b b和 a a a一一对应，也就是 b b b的第一小对应 a a a的第一小， b b b的第二小对应 a a a的第二小… b b b的最大值对应 a a a的最大值。

（要解决这个问题，显然要先离散化

我们来分析一下我们的目的是啥。比如 a = 4 , 1 , 2 , 3 , 5 , b = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 a={4,1,2,3,5},b={1,2,3,4,5} a=4,1,2,3,5,b=1,2,3,4,5。然后我们要让 b b b中的 4 4 4排在第一个， b b b中的 1 1 1排在第二个… b b b中的 5 5 5排在第 5 5 5个。然后我们先处理出 a a a的反排列，设为 M M M，那么对于所有 i i i， M [ a [ i ] ] = i M[a[i]]=i M[a[i]]=i。然后对于每个 i i i，我们令 b [ i ] = M [ b [ i ] ] b[i]=M[b[i]] b[i]=M[b[i]]。这样，我们就把 b b b中的第 i i i个位置变成了这个位置在最优情况下应该在哪。

现在，我们的目的就变成了变换后的 b b b排列变成 1 , 2 , 3... n {1,2,3...n} 1,2,3...n的最小交换次数。这就是变换后的 b b b排列的逆序对数量。树状数组维护即珂。

（上面说这么多，代码其实不长）

实现注意

交换次数要 l o n g l o n g longlong longlong

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{#define N 155555#define mod 99999997#define int long long #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))#define FK(x) MEM(x,0)int n;int a[N],b[N];void R1(int &x){x=0;char c=getchar();int f=1;while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();x=(f==1)?x:-x;}void Input(){R1(n);F(i,1,n) R1(a[i]);F(i,1,n) R1(b[i]);}int lba(int x){return lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a;}int lbb(int x){return lower_bound(b+1,b+n+1,x)-b;}int aa[N],bb[N];class BIT{public:int tree[N];int len;void BuildTree(int _len){len=_len;FK(tree);}void Add(int pos,int val=1){for(int i=pos;i<=len;i+=(i&(-i))){tree[i]+=val;}}int Query(int pos){int ans=0;for(int i=pos;i>0;i-=(i&(-i))){ans+=tree[i];}return ans;}}T;int Map[N];void Soviet(){F(i,1,n) aa[i]=a[i],bb[i]=b[i];sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1);F(i,1,n) aa[i]=lower_bound(a+1,a+n+1,aa[i])-a,bb[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,bb[i])-b;//到此为止是离散化F(i,1,n) Map[aa[i]]=i;//Map: 反排列F(i,1,n) bb[i]=Map[bb[i]];//这之后，b[i]就变成了原本的b[i]应该出现在哪个位置才能和a对上//这往后，求一下bb的逆序对数量即珂。T.BuildTree(n);int ans=0;F(i,1,n){ans+=T.Query(n)-T.Query(bb[i]);//维护逆序对ans%=mod;T.Add(bb[i],1);}printf("%lld\n",ans);}#define Flan voidFlan IsMyWife(){Input();Soviet();}#undef int //long long
}
int main()
{Flandre_Scarlet::IsMyWife();getchar();getchar();return 0;
}

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