威尔逊定理：

当且仅当p为素数时，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
当且仅当p为素数时，( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )
若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除
当且仅当p为素数时，p∣(p−1)!+1

证明：https://brilliant.org/wiki/wilsons-theorem
https://www.jianshu.com/p/ad5bb5b8fa7d

欧拉定理：

若正整数a和n互质，则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
若a,p互素，aφ(p)a^{φ( p)}aφ(p)≡1 (mod p) → a*aφ(p)−1a^{φ( p)-1}aφ(p)−1 ≡ 1 (mod p)
因此aφ(p)−1a^{φ( p)-1}aφ(p)−1 为a mod p意义下的逆元’

证明：https://brilliant.org/wiki/eulers-theorem/

中国剩余定理：

设 k 组数 (a_i, n_i), 其中 n_i两两互素，要找到最小的正整数x，
满足方程组 x≡a_i(mod n_i)(i=1,2…k)

◼ 算法步骤:
◼ 令 n=n₁n₂…n_k, m_i=n/n_i
◼ 显然 gcd(m_i,n_i)=1，用扩展欧几里德算法计算出 x_i 满足m_ix_i≡1(mod n_i)
◼ 方程组的解 x = (a₁x₁m₁+a₂x₂m₂+…+a_kx_km_k) mod n
◼ 方程组的任意两个解模n同余，因此x就是最小的解。

费马小定理：

对任意a和任意质数p，有a^p ≡ a(mod p)
对任意a和任意质数p，当a与p互质时，有a^p−1≡1(mod p)
若p能被a整除，则a^p−1≡0(mod p)

证：因为 φ( p) = p-1，代入欧拉定理即证

若p为素数，a^p-1≡1 (mod p) → a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)
因此 a^p-2 为a mod p意义下的逆元

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小结：数论四大定理（威尔逊定理+欧拉定理+中国剩余定理+费马小定理）

前置知识：

威尔逊定理：

欧拉定理：

中国剩余定理：

费马小定理：

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