图的详细介绍

1、名词解释：

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。在图中的数据元素，我们称之为顶点（Vertex），顶点集合有穷非空。在图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
图按照边的有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边组成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分，带箭头一端为弧头。
图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果图中的任意两个顶点之间都存在边叫做完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度。有向图顶点分为入度和出度。
图上的边或弧带有权则称为网。
图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复的叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称为强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称为强连通分量。
无向图中连通且n个顶点n-1条边称为生成树（和斜树的结构类似）。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。

2、图的存储结构—-邻接矩阵（两个数组，一个一维，一个二维）

图的邻接矩阵的表示方式需要两个数组来表示图的信息，一个一维数组表示每个数据元素的信息，一个二维数组（邻接矩阵）表示图中的边或者弧的信息。

如果图有n个顶点，那么邻接矩阵就是一个n*n的方阵，方阵中每个元素的值的计算公式如下：

邻接矩阵表示图的具体示例如下图所示：

首先给个无向图的实例：

下面是一个有向图的实例：

OK，到这里为止，我们给出一个无向图的邻接矩阵和一个有向图的邻接矩阵，我们可以从这两个邻接矩阵得出一些结论：

无向图的邻接矩阵都是沿对角线对称的
要知道无向图中某个顶点的度（无向图顶点的边数），其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；例如v1 的度是2
对于有向图，要知道某个顶点的出度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行的元素之和，如果要知道某个顶点的入度，那就是第i列的元素之和。出度看本行的和，入度看本列的和

但是，如果我们需要表示的图是一个网的时候，例如假设有个图有n个顶点，同样该网的邻接矩阵也是一个n*n的方阵，只是方阵元素的值的计算方式不同，如下图所示：

这里的Wij表示两个顶点vi和vj边上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面是具体示例，表示的一个有向网的图和邻接矩阵：

3、图的存储结构—-邻接矩阵的代码实现.

#include<iostream>
using namespace std;
enum Graphkind{ DG, DN, UDG, UDN }; //{有向图，无向图，有向网，无向网}
typedef struct  Node
{int * vex;  //顶点数组
int vexnum; //顶点个数
int edge;   //图的边数
int ** adjMatrix; //图的邻接矩阵
enum Graphkind kind;
}MGraph;
void createGraph(MGraph & G,enum Graphkind kind)
{cout << "输入顶点的个数" << endl;
cin >> G.vexnum;
cout << "输入边的个数" << endl;
cin >> G.edge;
//输入种类
//cout << "输入图的种类：DG:有向图 DN：无向图，UDG：有向网,UDN:无向网" << endl;
G.kind = kind;
//为两个数组开辟空间
G.vex = new int[G.vexnum];
G.adjMatrix = new int*[G.vexnum];
cout << G.vexnum << endl;
int i;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{G.adjMatrix[i] = new int[G.vexnum];
}
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{for (int k = 0; k < G.vexnum; k++){if (G.kind == DG || G.kind == DN){G.adjMatrix[i][k] = 0;}else {G.adjMatrix[i][k] = INT_MAX;}}}
/*//输入每个元素的信息,这个信息，现在还不需要使用
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{cin >> G.vex[i];
}*/
cout << "请输入两个有关系的顶点的序号：例如：1 2 代表1号顶点指向2号顶点" << endl;
for (i = 0; i < G.edge; i++)
{int a, b;cin >> a;cin >> b;if (G.kind == DN) {G.adjMatrix[b - 1][a - 1] = 1;G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = 1;}else if (G.kind == DG){G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = 1;}else if (G.kind == UDG){int weight;cout << "输入该边的权重：" << endl;cin >> weight;G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = weight;}else {int weight;cout << "输入该边的权重：" << endl;cin >> weight;G.adjMatrix[b - 1][a - 1] = weight;G.adjMatrix[a - 1][b - 1] = weight;}
}void print(MGraph g)
{int i, j;for (i = 0; i < g.vexnum; i++){for (j = 0; j < g.vexnum; j++){if (g.adjMatrix[i][j] == INT_MAX)cout << "∞" << " ";elsecout << g.adjMatrix[i][j] << " ";}cout << endl;}
}void clear(MGraph G)
{delete G.vex;
G.vex = NULL;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){delete G.adjMatrix[i];G.adjMatrix[i] = NULL;}
delete G.adjMatrix;
}
//如果报错可能是void 的g 、G没有*
int main()
{MGraph G;cout << "有向图例子：" << endl;createGraph(G, DG);print(G);clear(G);cout << endl;cout << "无向图例子：" << endl;createGraph(G, DN);print(G);clear(G);cout << endl;cout << "有向图网例子：" << endl;createGraph(G, UDG);print(G);clear(G);cout << endl;cout << "无向图网例子：" << endl;createGraph(G, UDN);print(G);clear(G);cout << endl;
return 0;
}输出结果：

4、图的存储结构—-邻接矩阵的优缺点

优点：
直观、容易理解，可以很容易的判断出任意两个顶点是否有边，最大的优点就是很容易计算出各个顶点的度。
缺点：
当我表示完全图的时候，邻接矩阵是最好的表示方法，但是对于稀疏矩阵，由于它边少，但是顶点多，这样就会造成空间的浪费。（适合完全图，不适合稀疏矩阵）

5、图的存储结构—邻接表（两个结构体）

邻接表是图的一种链式存储结构。主要是应对于邻接矩阵在顶点多边少的时候，浪费空间的问题。它的方法就是声明两个结构。如下图所示：

            一个头节点一个表结点

OK，我们虽然知道了邻接表是这两个结构来表示图的，那么它的怎么表示的了，不急，我们先把它转为c++代码先，然后，再给个示例，你就明白了。

typedef char Vertextype;//表结点结构
struct ArcNode {int adjvex;   //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。ArcNode * nextarc; //指向下一个表结点int weight;   //这个只有网图才需要使用。普通的图可以直接忽略
};//头结点
struct Vnode
{Vertextype data;  //这个是记录每个顶点的信息（现在一般都不需要怎么使用）ArcNode * firstarc; //指向第一条依附在该顶点边的信息（表结点）
};

无向图的示例：

从图中我们可以知道，顶点是通过一个头结点类型的一维数组来保存的，其中我们每个头结点的firstarc都是指向第一条依附在该顶点边的信息，表结点的adjvex表示的该边的另外一个顶点在顶点数组中的下标，weight域对于普通图是无意义的，可以忽略，nextarc指向的是下一条依附在该顶点的边的信息。

下面再给出一个有向图的例子：

通过上述的两个例子，我们应该明白邻接表是如何进行表示图的信息的了。

一般网才用权重

6、图的存储结构—-邻接表的代码实现

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;typedef string Vertextype;//表结点结构
struct ArcNode {int adjvex;   //某条边指向的那个顶点的位置（一般是数组的下标）。ArcNode * nextarc; //指向下一个表结点int weight;   //这个只有网图才需要使用。
};//头结点
struct Vnode
{Vertextype data;  //这个是记录每个顶点的信息（现在一般都不需要怎么使用）ArcNode * firstarc; //指向第一条依附在该顶点边的信息（表结点）
};//图
struct Graph
{int kind;  //图的种类(有向图：0,无向图：1，有向网：2，无向网：3)int vexnum; //图的顶点数int edge;  //图的边数Vnode * node; //图的（顶点）头结点数组
};
void createGraph(Graph &g,int kind)
{cout << "请输入顶点的个数：" << endl;cin >> g.vexnum;cout << "请输入边的个数（无向图/网要乘2）：" << endl;cin >> g.edge;g.kind = kind; //决定图的种类g.node = new Vnode[g.vexnum];int i;cout << "输入每个顶点的信息：" << endl;//记录每个顶点的信息for (i = 0; i < g.vexnum; i++){cin >> g.node[i].data;g.node[i].firstarc=NULL;}cout << "请输入每条边的起点和终点的编号：" << endl;for (i = 0; i < g.edge; i++){int a;int b;cin >> a; //起点cin >> b; //终点ArcNode * next=new ArcNode;next->adjvex = b - 1;if(kind==0 || kind==1)next->weight = -1;else {//如果是网图，还需要权重cout << "输入该边的权重：" << endl;cin >> next->weight;}next->nextarc = NULL;//将边串联起来if (g.node[a - 1].firstarc == NULL) {g.node[a - 1].firstarc=next;}else{ArcNode * p;p = g.node[a - 1].firstarc;while (p->nextarc)//找到该链表的最后一个表结点{p = p->nextarc;}p->nextarc = next;}}
}void print(Graph  g)
{int i;cout << "图的邻接表为：" << endl;for (i = 0; i < g.vexnum; i++){cout << g.node[i].data<<" ";ArcNode * now;now = g.node[i].firstarc;while (now){cout << now->adjvex << " ";now = now->nextarc;}cout << endl;}
}int main()
{Graph g;cout << "有向图的例子" << endl;createGraph(g,0);print(g);cout << endl;cout << "无向图的例子" << endl;createGraph(g, 1);print(g);cout << endl;return 0;
}输出结果：

7、图的存储结构—-邻接表的优缺点

优点：
对于稀疏图，邻接表比邻接矩阵更节约空间。
缺点：
不容易判断两个顶点是否有关系（边），顶点的出度容易，但是求入度需要遍历整个邻接表。

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