矩阵论——逆、转置、置换

一个 n 维方阵分为可逆/非奇异矩阵（inversible/non-singular matrix）和不可逆/奇异矩阵（non-inversible/singular matrix）.
一个可逆矩阵 A 满足：A−1^{-1}−1A = A A−1^{-1}−1 = E.

Singular Matrix Case

1.线性组合/column picture

矩阵其中一列未做贡献 / 矩阵各列通过线性组合变成0.
for example,
A = [1326]\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}[1236]，

∵\because∵ AB 的列是 A 的各列向量的线性组合，
∴\therefore∴ AB 的column picture是一条直线，
∵\because∵ E 的column picture是二维的，
∴\therefore∴ 不存在这样的 B 使 AB=E，即A没有逆.

2.方程

对于 AX=0，A 通过乘以非零向量 X 得到 0.
for example,
A = [1326]\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}[1236]，

反证法：

若 A 有逆，方程两边同时乘上 A−1^{-1}−1，则必有 X=0.
而显然，X=[3−1]\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}[3−1]时，AX=0成立，
故A没有逆.

3.行列式

|A| = 0 ⇒\Rightarrow⇒ A 没有逆.

Permutation

对于置换矩阵PPP，有P−1=PTP^{-1}=P^TP−1=PT.
对于n阶矩阵，有n!个置换矩阵P.

∀\forall∀矩阵A，有PA=LU.

Transpose

(AT)ij=Aji(A^T)_{ij}=A_{ji}(AT)ij=Aji
ATAA^TAATA is always symmetric

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