1.2线性代数-行列式的性质
行列式的性质:
性质1:; 行列式转置 值不变
对行成立的性质,对列也成立
性质二:两行互换(两列互换),行列式的值要变号
证明思路:若D中的每一项都和D1中的每一项差一个负号,那么 D = - D1
3214是1234经过一次顺序变换得来的(1和3变换位置),1234为偶,3214肯定是奇
原因:2,7,12,13 列标的排法没变,只是行标变了。原来是1-2-3-4行,现在变成了3-2-1-4
推论:两行或者两列对应相等,行列式值等于0
若第一行和第三行互换,那么根据性质二,D = - D = => 2D = 0 ==> D=0
性质四:某一行都乘以K,等于用K乘以这个行列式
推论:若某一行有公因子K,K可以提到外面去
那么行列式所有元素均有公因子K, K外提n次。(几阶行列式就提几次)
性质五:两行(列)元素对应成比例,D = 0
推论:某一行全为0,D = 0
解释:从定义出发,行列式计算需要从不同行不同列 去一个元素,那么每一项必须要从该行取一个元素,那么每一项均为0
小结:
行列式(Determinant)为0的情况:D=0
(1)两行对应成比例
(2)某一行全为0
(3)两行相等
那么,若D=0,必可知以上三个条件之一成立吗?错误!
以上行列式的值也是0,请参考性质7
性质六:是和的那一行分开,其余行保持不变
某一行是两数之和,把那一行分开,其余保持不变
性质七:(最重要)某一行(列)乘以一个数,加到另一行(列)上去,行列式的值不变
(行列式某一行的所有元素乘以数K,加到另一行上去,行列式的值不变)
其中最后一个行列式 第一行和第二行成比例,因此值为0.只剩下加号前面的那个行列式
练习题:
1.计算行列式的值
想办法将行列式化为上三角行列式:即将左下方位置的数变成0,那么行列式的值只需要计算对朱角线元素的积
例题主要使用了行列式的性质 去不停迭代,将左下角的元素变成0
例题二:
方法一:
缺点:沿用了上面的性质七,计算复杂
方法二:
先把第一行和第二行交换位置,用1去消除8 9 3,参考性质二
解题规范:
(1)先处理第一列,再第二列,再第三列
(2)第一列处理完后,第一行不再参与后面的运算(只要第一行参与运算,第一个元素一定跟着就下来了,之前第一列的步骤就白做了)
错误示范(下图):
同理,处理第三列,第二行不要参与运算
错误示范(下图):
日常做题时标记方法(下图):
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