实验内容与要求

内容：假设某国家发行了n中不同面值的邮票，并且规定每张信封上最多只允许贴m张。

要求：对于给定的m和n的值，给出邮票面值的最佳设计，使得可以在一张信封上贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间。

实验分析

①对于连续邮资的问题，由于实验开始是仅给出面值的数量，而面值的具体值是未知的。但是由于邮资需要从1开始，因此，面值具体值中必然有1。可以考虑建立一个数组用于存储具体的面值。X[1:n]表示从小到大存储具体面值。

②当面值为1时，可形成的连续邮资区间为1~m，在此基础上，若要增加面值，为保证区间连续，第二个面值必然要在2~m+1中取（第二个面值不能为1，并且若为m+2或者更大时，只用一个就变为m+2，此时不连续），第三个面值则需要根据前两个面值能达到的最大值来确定。第i个面值x[i]的连续区间若为1~r时，则第x[i+1]的个的取值必然为x[i]+1到r+1。则从第一个面值开始，接下来的各个面值的取值都由上一个面值以及能形成的最大值来取。

③但是为了求解最大连续区间，需要将面值的所有情况进行考虑，则对面值可能取值的语法树进行递归遍历，即回溯。递归到叶子节点时，将当前情况的最大值进行记录并与之前的进行比较，若更大则保存最大值，之后回溯到上一层继续求解，直到将所有情况计算完成。

④为在第n层得到最大连续邮资区间，则在前几层进行计算是，必须要达到即保证连续，又要保证每个邮资值尽量使用比较少的邮票张数，即多使用邮资大的邮票。这就要求每引进一个新的邮票的时候，需要对当前邮资值数组进行更新，以保证每个邮资值的达到使用的是最少的邮票数。

代码

#include<stdio.h>
#define maxl 1000               //表示最大连续值
#define maxint 32767
int n,m;                        //n为邮票种类数，m为能贴的最大张数
int maxvalue;                   //表示最大连续值
int bestx[100];                 //表示最优解
int y[maxl];                    //y[k]，存储表示到k值，所使用的最少邮票数
int x[100];                     //存储当前解
void backtrace(int i,int r);int main(){printf("请输入邮票面值数：");scanf("%d",&n);printf("请输入能张贴邮票的最大张数：");scanf("%d",&m);for(int i=0;i<=n;i++){x[i]=0;bestx[i]=0;} for(int i=0;i<maxl;i++){y[i]=maxint;}x[1]=1;y[0]=0;maxvalue=0;backtrace(1,0);printf("当前最优解为：");for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d ",bestx[i]);} printf("\n最大邮资为：");printf("%d",maxvalue);return 1;
} void backtrace(int i,int r){for(int j=0;j<=x[i-1]*m;j++){              //对上一层的邮资值数组进行更新，上限是x[i-1]*m if(y[j]<m){for(int k=1;k<=m-y[j];k++){            //从只使用一个x[i]到使用m-y[i]个，即使用最多的最大值，降低邮票数 if(y[j]+k<y[j+x[i]*k]){y[j+x[i]*k]=y[j]+k;         //如果前面的某一个情况加上k个x[i]，所达到邮资值使用的邮票数少于原来的邮票数则更新 }}}}while(y[r]<maxint){                          //向后寻找最大邮资值 r++;}if(i==n){                                  //i=n表示到达叶子节点。 if(r-1>maxvalue){                        //若大于最大值，则更新最优值与最优解 for(int k=1;k<=n;k++){bestx[k]=x[k];             }maxvalue = r-1;}return;}int z[maxl];for(int k=0;k<maxl;k++){                    //由于每一层需要对多种情况进行运算，因此需要将上一层的邮资值数组保留 z[k] = y[k];}for(int j=x[i]+1;j<=r;j++){                    //对下一层进行运算 x[i+1]=j;backtrace(i+1,r-1);for(int k=0;k<maxl;k++)y[k]=z[k];}
}

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