正态分布计算实例：计算男女身高相差>5厘米的概率

假设男生身高 X ~ N(71,20.25)，女生身高 Y ~ N(64,16)

解题思路

算出两种正态分布的均值和方差
算出新的正态分布的均值和方差
算出变量5的标准分
根据标准分在正态分布表中查询概率值

用到的公式

z = x − μ σ z=\frac{x-\mu}{\sigma} z=σx−μ
X − Y ≈ N ( μ x + μ y , σ x 2 + σ y 2 ) X-Y \approx N(\mu_x+\mu_y, \sigma_x^2 + \sigma_y^2) X−Y≈N(μx+μy,σx2+σy2)
求变量x=5的概率

算出两种正态分布的均值和方差
E(X)=71，E(Y)=64；Var(X)=20.25，Var(Y)=16
算出新的正态分布的均值和方差
X − Y N ( μ x + μ y , σ x 2 + σ y 2 ) X-Y ~ N(\mu_x+\mu_y, \sigma_x^2 + \sigma_y^2) X−Y N(μx+μy,σx2+σy2)
μ = E ( X ) − E ( Y ) = 71 − 64 = 7 \mu = E(X) -E(Y) = 71-64 = 7 μ=E(X)−E(Y)=71−64=7
σ = V a r ( X ) + V a r ( Y ) = 20.25 + 16 = 36.25 \sigma=Var(X) + Var(Y)=20.25+16=36.25 σ=Var(X)+Var(Y)=20.25+16=36.25
求标准分 x=5
z = x − μ σ = 5 − 7 36.25 = − 0.33 \begin{aligned} z&=\frac{x-\mu}{\sigma}\\ &=\frac{5-7}{36.25}\\ &=-0.33 \end{aligned} z=σx−μ=36.255−7=−0.33
利用标准分，根据正态分布表差P(X-Y>5)
P(X-Y>5) = 1-P(X-Y<5)
P(X-Y<5) 用z=-0.33 去查
P(X-Y>5) 用z=0.33 去查
利用Python 计算正态分布：

from scipy.stats import norm
norm.cdf(0.33)
结果：0.6293

总结：

正态分布的计算三步走

算出均值和方差
算出标准分
查询正态分布表

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