教材：王珊萨师煊编著数据库系统概论（第5版）高等教育出版社
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第2章关系数据库

2.1 关系数据结构及其形式化定义

1、关系数据库系统是支持关系模型的数据库系统。关系模型由IBM的E.F.Codd提出。E.F.Codd因此获得Turing奖。目前全球的数据库几乎都为关系数据库。第1章初步介绍了关系模型及其基本术语，本章将稍微深入地介绍关系模型。
回忆：数据模型的三要素是：数据结构、数据操作、数据的完整性约束条件。简单说成：结构、操作、约束条件。

2、关系模型的数据结构就是关系。关系可以画成二维表来表示。这种结构虽然简单，却能表达丰富的语义，描述现实世界的实体及各种联系。关系模型建立在集合代数的基础上，下面从集合论的角度给出关系数据结构的形式化定义。

3、域（domain）是一组相同类型的值的集合。
例如：自然数、整数、实数、复数、32字节以内的字符串集合、{0，1}、{男、女}、离散闭区间 [0, 255] 、double能表示的全部数、本校全体学生、某人的计算机中包含的全部单机游戏、S店于2019年8月售出的全部UHD BD、作家N创作的全部科幻小说。

4、笛卡尔积（cartesian product）是一种集合运算。设集合D1，D2，……，Dn，则它们的笛卡尔积为

cartesian = 与Rene Descartes相关的。
笛卡尔积生成的元素 (d1，d2，……，dn) 叫作一个n元组（n-tuple），简称元组（tuple）。元素中的每一个值都是一个分量（component）。
笛卡尔积可以表示为一张二维表。每行对应一个元组，而每列的值都来自一个域。
例如：给出导师姓名、研究方向、研究生姓名的集合
D1 = {胡安，张维文，祁连武}，D2 = {计算机视觉，自然语言处理，语音识别}，D3 = {林小亮，李立思，黄佳琪}。则
D1×D2×D3 =
{
(胡安，计算机视觉，林小亮)，(胡安，计算机视觉，李立思)，(胡安，计算机视觉，黄佳琪)，
(胡安，自然语言处理，林小亮)，(胡安，自然语言处理，李立思)，(胡安，自然语言处理，黄佳琪)，
(胡安，语音识别，林小亮)，(胡安，语音识别，李立思)，(胡安，语音识别，黄佳琪)，
(张维文，计算机视觉，林小亮)，(张维文，计算机视觉，李立思)，(张维文，计算机视觉，黄佳琪)，
(张维文，自然语言处理，林小亮)，(张维文，自然语言处理，李立思)，(张维文，自然语言处理，黄佳琪)，
(张维文，语音识别，林小亮)，(张维文，语音识别，李立思)，(张维文，语音识别，黄佳琪)，
(祁连武，计算机视觉，林小亮)，(祁连武，计算机视觉，李立思)，(祁连武，计算机视觉，黄佳琪)，
(祁连武，自然语言处理，林小亮)，(祁连武，自然语言处理，李立思)，(祁连武，自然语言处理，黄佳琪)，
(祁连武，语音识别，林小亮)，(祁连武，语音识别，李立思)，(祁连武，语音识别，黄佳琪)
}
该笛卡尔积可以画成3列27行的表，第一行记录每列的属性名，分别为：导师姓名、研究方向、研究生姓名，剩下27行每行可以放入1个笛卡尔积中的元素，对应关系中的元组。由于篇幅的关系，这里省略表格示例。

5、对有穷集合，其含有的元素个数在数值上等于其基数（cardinal number）。事实上基数的定义比这个叙述要复杂，无穷集也有其基数，本文不予讨论。如果有限集合D1，D2，……，Dn的基数分别为c1，c2，……，cn，那么D1×D2×……×Dn的基数C = c1c2……cn。

6、已知域D1，D2，……，Dn，则其笛卡尔积D1×D2×……×Dn叫作域D1，D2，……，Dn的关系，表示为R（D1，D2，……，Dn）。R为关系名，n为关系的目或度（degree）。关系中的每个元素是关系的元组，一般记为t。n = 1时，该关系为一元关系；n = 2时，该关系为二元关系。显然n目关系一定有n个属性。关系是笛卡尔积的有限子集，因为笛卡尔积的很多元素不对应现实意义。比如在上面的举例中，一个导师一般只在一个专业方向带研究生，一个研究生一般只有一个导师（以及一个研究方向），而一个专业方向一般有多个导师，一个导师可以带多名研究生。因此上述实例中的很多元组不具有实际意义。笛卡尔积本身一般不具有实际语义，而它的某个真子集才对应实际生活中的关系。

7、若关系中某些属性的值能够唯一标识一个元组而其真子集都不能，就称这部分属性为候选码（candidate key）。例如记录学生信息的一张二维表，只有学号是唯一的，其余信息都可能重复，那么学号属性为候选码。一个关系可以有多个候选码，一般只选一个作为主码（primary key）。最简单的情况下，候选码只包含一个属性。最极端的情况下，关系模式的全部属性都称为候选码，称为全码（all-key）。比如记录某品牌工作站的信息的表中，S/N（Serial number，序列号）和网卡的MAC地址都是唯一的，都可以标识一个元组——一台工作站及其全部信息，那么通常只选其中一个作为主码。

8、关系可以有三种类型：基本关系（也称基本表、基表）、查询表和视图表。基本表是实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示；查询表则是查询结果对应的表；视图表则是由基本表或其它识图导出的表，是虚表，不对应存储的数据。

9、关系可以是无限的集合，但是我们不可能建立一个无限大的数据库。所以关系数据模型中的关系必须是有限集合。对笛卡尔积的每个元素，如果任意多（≥2）个分量交换位置，那么交换前后的两个元素不能视为同一个元素，意即笛卡尔积的元素分量不满足交换律。这么说来，将笛卡尔积的一个子集——关系画成二维表后，由于这个子集保留了笛卡尔积及其每个元素的性质，列也不允许被变动。不过，我们可以为关系表中的每个列命名一个不同的属性名。显然，命名之后将列的位置可以自由交换而不会影响元组的数据，也就是说取消了关系属性的有序性。

10、基本关系具有如下5条性质。
（1）列是同质的（homogeneous）。比如说一个关系的二维表中，第i、j、k列分别为片名、豆瓣评分、IMDb评分。显然第i、j、k列的数据只能分别来自片名、豆瓣评分、IMDb评分的集合。也就是说，每一列的分量是同类的数据，来自同一个域。
（2）不同的列可以出自同一个域也可以来自不同的域。比如某个关系的二维表中，第i、j列分别是原作者姓名、译者姓名，那么它们可以都来自姓名域。
（3）行、列都可以自由调换顺序。
（4）任意两个元组的对应的候选码都不能取相同的值。
（5）分量必须取原子值，即分量都必须是不可分的数据项。也就是说把关系画成二维表时不允许表中有表。下图是一个表中有表的例子：

关系模型要求关系必须是规范化的（normalized）。规范化的关系简称为范式（Normal form，NF）。其概念将在第6章进一步讲解。

11、关系数据库中，关系模式是型，关系是值。关系模式是对关系的描述。关系是元组的集合，关系模式需要描述元组集合的结构，比如说由哪些属性构成，属性分别来自哪些域，属性与域之间的关系。关系模式还需要刻画完整性约束条件。这些条件用于检验数据是否正确（符合逻辑、符合事实等）。比如：某公司的职工在70岁退休，那么对应的关系中不能出现70岁以上的在职职工的元组。
关系的描述称为关系模式（relation schema），可以记作R(U，D，DOM，F)，这四个参数分别是：属性集合、属性的域、属性向域的映像集合、属性间数据的依赖关系的集合。属性间的数据依赖将在第6章讨论，本章中的关系模式仅涉及关系吗、属性名、域名、属性向域的映像4部分，记作R(U，D，DOM)。关系模式可以简记为R(U) 或R(A1，A2，……，An)。R为关系名，A1，A2，……，An为属性名。

12、关系模式通常是静态的、稳定的，而关系是动态的、随时间变化的。关系操作会不断更新数据。例如，学生关系模式在不同的学年基本上都相同，而学生关系则不同。实际工作中，人们常常把关系和关系模式都笼统地称为关系，这时需要根据上下文加以区别。

13、所有关系的集合构成一个关系数据库。关系数据库也有型和值之分。关系数据库的型也称关系数据库模式，是对关系数据库的描述。关系数据库模式包含若干个域的定义与域上定义的若干关系模式。关系数据库的值就是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常就称为关系数据库。

2.2 关系操作

1、关系模型中常用的关系操作包括查询（query）和插入（insert）、删除（delete）、修改（modify，有时写作更新（update））操作两大部分。查询操作可分为选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）并（union）、差（difference）、交（intersection）、笛卡尔积（cartesian product）等。选择、投影、并、差、笛卡尔积是5中基本操作。其它操作可以用基本操作来定义与导出，就像乘法可以用加法来定义和导出一样。

2、关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。这种操作方式称为一次一集合（set-at-a-time）。非关系数据模型的数据操作方式则为一次一记录（record-at-a-time）。

3、我们通过关系数据语言来进行关系操作。早期的关系操作能力通常用代数或逻辑方式来表示，分别称为关系代数（relational algebra）和关系演算（relational calculus）。两者分别用对关系的运算和谓词来表达查询要求。关系演算可按谓词变元（变量）的基本对象是元组变量还是域变量分为元组关系演算和域关系演算。一个关系数据语言能够表示关系代数可以表示的查询，称为具有完备的表达能力，简称关系完备性。已经证明：关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上都是等价的，都具有完备的表达能力。
关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言，与具体的DBMS中实现的实际语言不完全一样。但它们可以用作评估实际系统中查询语言能力的标准或基础。实际的查询语言除了关系代数与演算的功能外，还提供了聚集函数、关系赋值、算术运算等多种功能。

4、有一种介于关系代数和关系演算之间的结构化查询语言（Structured Query Language，SQL）。SQL不仅具有丰富的查询功能，而且具有数据定义和数据控制功能，是集查询、数据定义语言（DDL）、数据操纵语言（DML）、数据控制语言（DCL）于一体的关系数据语言。它充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关系数据库的标准语言。
综合3和4，关系数据语言可以分为三类：关系代数语言（如ISBL）、关系演算语言、具有关系代数和关系演算双重特点的语言（如SQL）。关系演算语言分为元组关系演算语言（如ALPHA、QUEL）和域关系演算语言（如QBE）。

2.3 关系的完整性

1、关系模型的完整性规则是对关系的约束条件，也就是说无论关系的值取什么，都应该满足这些约束。这些约束实际上是现实世界的要求。

2、关系模型中有三类完整性约束：实体完整性（entity integrity）、参照完整性（referential integrity）、用户定义的完整性（user-defined integrity）。实体完整性和参照完整性是一切关系模型必须满足的，称为关系的两个不变性。用户定义的完整性则是在应用领域随场合的不同而不同的约束条件，体现了具体领域中的语义约束。

3、实体完整性规则若属性（一个或一组）A是基本关系R的主属性，则A不能为空（null）。空值就是不知道、不存在或无意义（未定义）的值。例如：某网站的数据库中保存访客记录，以IP作为主码标识特定主机，则IP不能为空，否则该条记录无效。如果主码包含多个属性，这些属性全部都不能为空。

4、设F是基本关系R的一个（组）属性，但不是R的码，KS是基本关系S的主码。如果F与KS存在某种对应关系，就称F是R的外码（foreign key），并称R为参照关系（referencing relation），S为被参照关系（referenced relation）或目标关系（target relation）。R和S不一定是不同的关系。
例如：“T影星主演的影片F的首映礼的地点”关系中，“地点”与城市关系的主码“城市名称”对应（为了讨论方便，这里假定城市不重名）。选择首映礼的地点需要考察哪些城市可以选，那么“T影星主演的影片F的首映礼的地点”关系为参照关系，城市关系为被参照关系。

5、参照完整性规则若属性（组）F是基本关系R的外码，它与基本关系S的主码KS存在对应关系（R和S不一定不同），则对于R中每个元组在F上的值必须取空值或S中某个元组的主码值。例如：“某人收藏的UP主X的鬼畜视频”关系中每个元组的“视频名称”要么为空，可能表示录入时忘记视频名；要么只能来自“UP主X投稿的视频”关系中的“视频名称”，也就是说不能把非X发布的视频名称填入“某人收藏的UP主X的鬼畜视频”的关系中。

6、关系模型强制要求关系数据库系统支持实体完整性和参照完整性。而此外，不同的关系数据库系统根据应用环境的不同，往往还需要一些特殊的约束条件，反映在具体场景中投入应用的数据必须满足的额外要求。这就是用户定义的完整性。比如在某次批改上机作业的过程中，运用了C++11或更新版本的特性的提交才算符合课程要求，否则该提交视为无效，不予录入作业关系；比如某剧组为某科幻电视剧启用新人演员并准备进一步训练，在加州第一次海选完毕并向数据库添加复选名单时，由于动作戏的要求，限制复选人员关系中所有通过初审者必须持有Class C（或以上）以及Class M1驾驶执照。

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