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堆排序与

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于(小于或等于)任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆(都是最大堆或最小堆)。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆(二项式堆，斐波纳契堆等)用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

// 新加入i结点其父结点为(i - 1) / 2

void MinHeapFixup(int a[], int i)

{

int j, temp;

temp = a[i];

j = (i - 1) / 2; //父结点

while (j >= 0)

{

if (a[j] <= temp)

break;

a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点

i = j;

j = (i - 1) / 2;

}

a[i] = temp;

}

更简短的表达为：

void MinHeapFixup(int a[], int i)

{

for (int j = (i - 1) / 2; j >= 0 && a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)

Swap(a[i], a[j]);

}

插入时：

//在最小堆中加入新的数据nNum

void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)

{

a[n] = nNum;

MinHeapFixup(a, n);

}

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