极坐标t1t2几何意义_二重积分-换元法-极坐标
确定极角的范围:
一条简单的规则:如果
1.根据
对于
对于
对于
对于
因此考虑
阿基米德螺线:
由
选取极点:
例1:计算
根据积分区域,容易想到做极坐标变换,令
所以原积分就等于
这时候就会发现,这个被积式很难处理.
因此转变思路,选择
有
原积分等于
例2:计算
其中
同理:
图像如图所示(暂时还不熟悉matlab操作,先将就一下.)
图像上的区域D即为满足条件的区域.
分别标记圆心坐标在
记
做极坐标变换,令
区域D关于
所以
因此
选取不同于原点的的点作为极点,相当于做平移变换后选取原点作为极点.
还是例1,对其做平移变换.
令
再做极坐标变换
将两个变换复合,就相当于
广义极坐标变换:
例3:
令
广义的极坐标变换也相当于伸缩后再进行极坐标变换.
补充:二重积分换元的理论依据:
雅可比行列式:也叫函数行列式,是由
变换前后微分面积的比值.
数学定义:
由
由
表示为
则行列式
雅可比行列式.表示为
在二重积分下为两个
例:设广义极坐标变换为
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