偏置圆柱体相贯线的空间坐标计算

两个圆柱形管的相贯存在4种形式，正交、偏置、斜交和偏置斜交。

本文仅讨论偏置情况下的计算方法。

建立如下坐标系，圆柱1的轴线为Z轴，圆柱2的轴线与Y轴平行，通过右手法则确定X轴，圆柱2的轴线在XOY平面上。圆柱1半径为a，圆柱2半径为b，圆柱2的轴线相较于Y轴偏移距离为ΔX，其中b > a。

采用极坐标系表示两个圆柱面和法线矢量：

∑ 1 \sum_1 ∑1： x 1 = a cos ⁡ θ x_1 = a\cos \theta x1=acosθ， y 1 = a sin ⁡ θ y_1 = a\sin \theta y1=asinθ， z 1 = u z_1 = u z1=u；
法向量： n x 1 = cos ⁡ θ , n y 1 = sin ⁡ θ , n z 1 = 0 n_{x1} = \cos \theta, n_{y1} = \sin \theta, n_{z1}=0 nx1=cosθ,ny1=sinθ,nz1=0

∑ 2 \sum_2 ∑2： x 2 = Δ x + b cos ⁡ φ x_2 = \Delta x +b\cos \varphi x2=Δx+bcosφ， y 2 = v y_2 = v y2=v， z 2 = b sin ⁡ φ z_2 = b \sin \varphi z2=bsinφ
法向量： n x 2 = cos ⁡ φ , n y 2 = 0 , n z 2 = sin ⁡ φ n_{x2} = \cos \varphi, n_{y2} =0, n_{z2}= \sin \varphi nx2=cosφ,ny2=0,nz2=sinφ

相贯线同时位于两个圆柱面上，即满足
x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 x_1=x_2, y_1=y_2, z_1=z_2 x1=x2,y1=y2,z1=z2

由于a, b, Δ x \Delta x Δx为已知，且a < b，则 θ \theta θ的取值范围为（ 0 − 2 π 0-2\pi 0−2π），根据需要的点距可以选择不同的步长。

可解出相贯线的空间坐标关于 θ \theta θ的方程如下：

x = a cos ⁡ θ x = a \cos \theta x=acosθ
y = a sin ⁡ θ y = a \sin \theta y=asinθ
z = b 2 − ( x − Δ x ) 2 z = \sqrt{b^2-(x-\Delta x)^2} z=b2−(x−Δx)2

用python实现如下：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 圆柱1半径：radius_1;  偏置距离：offset
# 圆柱2半径：rasius_2; （直径大）
# 点距： theta；（按弧度）class IntersectingLine():def __init__(self):self.radius_1 = 8.0self.radius_2 = 30.0self.center_offset = 10.0self.step_theta = 0.04# 计算空间坐标，保存在 ndarray中def calculate_coordinates(self, r1, r2, offset, theta):shape = ((int)(math.pi * 2 / theta), 3)coords = np.zeros(shape, dtype=float)for i in range(shape[0]):coords[i][0] = r1 * math.cos(i*theta)coords[i][1] = r1 * math.sin(i*theta)coords[i][2] = math.sqrt(r2*r2 - math.pow((coords[i][0] - offset), 2))return coords# 根据坐标点绘制三维散点图def plot_coordinates(self, coordinates):fig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)ax.view_init(elev=45, azim=135)ax.scatter3D(coordinates[:,0], coordinates[:,1], coordinates[:,2], cmap='Blues')plt.show()

绘制结果如下：

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