视频讲解：23考研660数一数二数三221题，微分方程，易错！计算量大

题目

设A，B都是不等于零的常数，则微分方程 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = e x c o s 2 x y''-2y'+5y=e^xcos2x y′′−2y′+5y=excos2x有特解（）

(A) y ∗ = x e x ( A c o s 2 x + B s i n 2 x ) y^*=xe^x(Acos2x+Bsin2x) y∗=xex(Acos2x+Bsin2x)
(B) y ∗ = e x ( A c o s 2 x + B s i n 2 x ) y^*=e^x(Acos2x+Bsin2x) y∗=ex(Acos2x+Bsin2x)
(C) y ∗ = A x e x c o s 2 x y^*=Axe^xcos2x y∗=Axexcos2x
(D) y ∗ = A x e x s i n 2 x y^*=Axe^xsin2x y∗=Axexsin2x

解法1

齐次方程 y ′ ′ − 2 y ′ + 5 y = 0 的特征方程为 r 2 − 2 r + 5 = 0 齐次方程y''-2y'+5y=0的特征方程为r^2-2r+5=0 齐次方程y′′−2y′+5y=0的特征方程为r2−2r+5=0

由求根公式得 r 1 , 2 = 2 ± − 16 2 = 1 ± 2 i 由求根公式得\ r_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=1\pm 2i 由求根公式得 r1,2=22±−16 =1±2i

方程的非齐次项为 e α x c o s β x 的形式，其中 α = 1 , β = 2 \text{方程的非齐次项为}e^{\alpha x}cos\beta x\text{的形式，其中}\alpha =1,\ \beta =2 方程的非齐次项为eαxcosβx的形式，其中α=1, β=2

由于 1 + 2 i 为特征方程的特征根，所以特解需要多乘个 x \text{由于}1+2i\text{为特征方程的特征根，所以特解需要多乘个}x 由于1+2i为特征方程的特征根，所以特解需要多乘个x

特解形式为 y ∗ = x e x ( A cos ⁡ 2 x + B sin ⁡ 2 x ) \text{特解形式为}y^*=xe^x\left( A\cos 2x+B\sin 2x \right) 特解形式为y∗=xex(Acos2x+Bsin2x)

选A吗，那就错了，因为题目要求A，B不为零，所以我们要将特解带入看看A，B是否为0

设 f ( x ) = A cos ⁡ 2 x + B sin ⁡ 2 x \text{设}f\left( x \right) =A\cos 2x+B\sin 2x 设f(x)=Acos2x+Bsin2x
先把 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)和 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)求出来，后面会用到
f ′ ( x ) = − 2 A sin ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x f'\left( x \right) =-2A\sin 2x+2B\cos 2x f′(x)=−2Asin2x+2Bcos2x
f ′ ′ ( x ) = − 4 A cos ⁡ 2 x − 4 B sin ⁡ 2 x f''\left( x \right) =-4A\cos 2x-4B\sin 2x f′′(x)=−4Acos2x−4Bsin2x

可以用 f ( x ) f(x) f(x)来简化 y ∗ y^* y∗式子
y ∗ = x e x f ( x ) y^*=xe^xf\left( x \right) y∗=xexf(x)

( y ∗ ) ′ = e x f ( x ) + x e x f ( x ) + x e x f ′ ( x ) = e x f ( x ) + x e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] \begin{aligned} \left( y^* \right) '&=e^xf\left( x \right) +xe^xf\left( x \right) +xe^xf'\left( x \right) \\ &=e^xf\left( x \right) +xe^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] \end{aligned} (y∗)′=exf(x)+xexf(x)+xexf′(x)=exf(x)+xex[f(x)+f′(x)]
( y ∗ ) ′ ′ = e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) + e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] + x e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] + x e x [ f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] = e x [ 2 f ( x ) + 2 f ′ ( x ) ] + x e x [ f ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] \begin{aligned} \left( y^* \right) ''&=e^xf\left( x \right) +e^xf'\left( x \right) +e^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] +xe^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] +xe^x\left[ f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] \\ &=e^x\left[ 2f\left( x \right) +2f'\left( x \right) \right] +xe^x\left[ f\left( x \right) +2f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] \end{aligned} (y∗)′′=exf(x)+exf′(x)+ex[f(x)+f′(x)]+xex[f(x)+f′(x)]+xex[f′(x)+f′′(x)]=ex[2f(x)+2f′(x)]+xex[f(x)+2f′(x)+f′′(x)]
特解带入
( y ∗ ) ′ ′ − 2 ( y ∗ ) ′ + 5 y ∗ = e x [ 2 f ( x ) + 2 f ′ ( x ) ] + x e x [ f ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] − 2 e x f ( x ) − 2 x e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] + 5 x e x f ( x ) = 2 e x f ′ ( x ) + x e x [ 4 f ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] = e x c o s 2 x \begin{aligned} \left( y^* \right) ''-2\left( y^* \right) '+5y^*&=e^x\left[ 2f\left( x \right) +2f'\left( x \right) \right] +xe^x\left[ f\left( x \right) +2f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] -2e^xf\left( x \right) -2xe^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] +5xe^xf\left( x \right) \\ &=2e^xf'\left( x \right) +xe^x\left[ 4f\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] =e^xcos2x \end{aligned} (y∗)′′−2(y∗)′+5y∗=ex[2f(x)+2f′(x)]+xex[f(x)+2f′(x)+f′′(x)]−2exf(x)−2xex[f(x)+f′(x)]+5xexf(x)=2exf′(x)+xex[4f(x)+f′′(x)]=excos2x
{ 2 f ′ ( x ) = cos ⁡ 2 x 4 f ( x ) + f ′ ′ ( x ) = 0 ⟹ { − 4 A sin ⁡ 2 x + 4 B cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x 4 A cos ⁡ 2 x + 4 B sin ⁡ 2 x − 4 A cos ⁡ 2 x − 4 B sin ⁡ 2 x = 0 ⇒ { A = 0 B = 1 4 \left\{ \begin{array}{l} 2f'\left( x \right) =\cos 2x\\ 4f\left( x \right) +f''\left( x \right) =0\\ \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4A\sin 2x+4B\cos 2x=\cos 2x\\ 4A\cos 2x+4B\sin 2x-4A\cos 2x-4B\sin 2x=0\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=0\\ B=\frac{1}{4}\\ \end{array} \right. {2f′(x)=cos2x4f(x)+f′′(x)=0⟹{−4Asin2x+4Bcos2x=cos2x4Acos2x+4Bsin2x−4Acos2x−4Bsin2x=0⇒{A=0B=41
特解为 y ∗ = x e x ( 1 4 sin ⁡ 2 x ) \text{特解为}y^*=xe^x\left( \frac{1}{4}\sin 2x \right) 特解为y∗=xex(41sin2x)
选D

解法2

如果忘记了特解的形式，可以直接将A、B选项带入，C、D选项不用带了，因为C、D选项是A选项的一部分
带入A的过程见解法1
这里写带入B的过程
设 f ( x ) = A cos ⁡ 2 x + B sin ⁡ 2 x \text{设}f\left( x \right) =A\cos 2x+B\sin 2x 设f(x)=Acos2x+Bsin2x
同样先把 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)和 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)求出来，后面会用到
f ′ ( x ) = − 2 A sin ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x f'\left( x \right) =-2A\sin 2x+2B\cos 2x f′(x)=−2Asin2x+2Bcos2x
f ′ ′ ( x ) = − 4 A cos ⁡ 2 x − 4 B sin ⁡ 2 x f''\left( x \right) =-4A\cos 2x-4B\sin 2x f′′(x)=−4Acos2x−4Bsin2x

可以用 f ( x ) f(x) f(x)来简化 y ∗ 式子 y^*式子 y∗式子
y ∗ = e x f ( x ) y^*=e^xf\left( x \right) y∗=exf(x)
( y ∗ ) ′ = e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] \begin{aligned} \left( y^* \right) '&=e^xf\left( x \right) +e^xf'\left( x \right) \\ &=e^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] \end{aligned} (y∗)′=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]
( y ∗ ) ′ ′ = e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] + e x [ f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] = e x [ f ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] \begin{aligned} \left( y^* \right) ''&=e^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] +e^x\left[ f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] \\ &=e^x\left[ f\left( x \right) +2f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] \end{aligned} (y∗)′′=ex[f(x)+f′(x)]+ex[f′(x)+f′′(x)]=ex[f(x)+2f′(x)+f′′(x)]

特解带入
( y ∗ ) ′ ′ − 2 ( y ∗ ) ′ + 5 y ∗ = e x [ f ( x ) + 2 f ′ ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] − 2 e x [ f ( x ) + f ′ ( x ) ] + 5 e x f ( x ) = e x [ 4 f ( x ) + f ′ ′ ( x ) ] = 0 ≠ e x c o s 2 x \begin{aligned} \left( y^* \right) ''-2\left( y^* \right) '+5y^*&=e^x\left[ f\left( x \right) +2f'\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] -2e^x\left[ f\left( x \right) +f'\left( x \right) \right] +5e^xf\left( x \right)\\ &=e^x\left[ 4f\left( x \right) +f''\left( x \right) \right] =0\ne e^xcos2x\\ \end{aligned} (y∗)′′−2(y∗)′+5y∗=ex[f(x)+2f′(x)+f′′(x)]−2ex[f(x)+f′(x)]+5exf(x)=ex[4f(x)+f′′(x)]=0=excos2x
B不正确

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