智能优化算法：白鲸优化算法

摘要：白鲸优化算法([Beluga whale optimization，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一种群体智能优化算法。其灵感来源于白鲸的群体觅食行为。

1.白鲸优化算法

BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。

BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子 Bf\mathrm{~B}_{\mathrm{f}} Bf ，其定义为:
Bf=B0(1−T/(2Tmax⁡))\mathrm{B}_{\mathrm{f}}=\mathrm{B}_0\left(1-\mathrm{T} /\left(2 \mathrm{~T}_{\max }\right)\right) Bf=B0(1−T/(2 Tmax))
其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次， Tmax⁡\mathrm{T}_{\max }Tmax 是最大迭代次数， B0\mathrm{B}_0B0 在每次迭代中在 (0,1)(0,1)(0,1) 之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子 Bf>0.5\mathrm{B}_{\mathrm{f}}>0.5Bf>0.5 时，而开发阶段发生在 Bf≤0.5\mathrm{B}_{\mathrm{f}} \leq 0.5Bf≤0.5 。随着迭代次数 T\mathrm{T}T 的增加， Bf\mathrm{B}_{\mathrm{f}}Bf 的波动范围从 (0,1)(0,1)(0,1) 减小到 (0,0.5)(0,0.5)(0,0.5) ，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而开发阶段的概率随着迭代次数 T\mathrm{T}T 的不断增加而增加。

1.1 探索阶段

BWO的探索阶段是白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下:
{Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin⁡(2πr2),j=even Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos⁡(2πr2),j=odd\begin{cases}\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \mathrm{j}=\text { even } \\ \mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \cos \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \quad \mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{cases} ⎩⎨⎧Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin(2πr2),j= even Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos(2πr2),j=odd
其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次数， Xi,jT+1\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}Xi,jT+1 是第i只白鲸在第jjj维上的新位置， pj(j=1,2,⋯,d)\mathrm{p}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2, \cdots, \mathrm{d})pj(j=1,2,⋯,d) 是从 d\mathrm{d}d 维中选择的随机整数， Xi,pjT\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p} \mathrm{j}}^{\mathrm{T}}Xi,pjT 是第i条白鲸在 pj\mathrm{p}_{\mathrm{j}}pj 维度上的位置， Xi,pjT\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}Xi,pjT 和 Xr,p1T\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p} 1}^{\mathrm{T}}Xr,p1T 分别是第1条和第 r\mathrm{r}r 条白鲸的当前位置 (r\left(\mathrm{r}\right.(r 是随机选择的白鲸)，随机数 r1r_1r1 和 r2r_2r2 用于增强探索阶段的随机算子，r1\mathrm{r}_1r1 和 r2\mathrm{r}_2r2 是 (0,1)(0,1)(0,1) 的随机数， sin⁡(2πr2)\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)sin(2πr2) 和 sin⁡(2πr2)\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)sin(2πr2) 表示镜像白鲸的鲌朝向水面。根据奇偶数选择的维数，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为。

1.2 开发阶段

BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉猎物，数学模型表示为：
XiT+1=r3Xbest T−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_3 \mathrm{X}_{\text {best }}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_4 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_1 \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{F}} \cdot\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right) XiT+1=r3Xbest T−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT)
其中， T\mathrm{T}T 是当前迭代次数， XiT\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}XiT 和 XrT\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}XrT 分别是第 i\mathrm{i}i 条白鲸和随机白鲸的当前位置， XiT+1\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}XiT+1 是第 i\mathrm{i}i 条白鲸的新位置， XbestT\mathrm{X}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}XbestT 是白鲸种群中的最佳位置， r3\mathrm{r}_3r3 和 r4\mathrm{r}_4r4 是 (0,1)(0,1)(0,1) 之间的随机数， C1=2r4(1−T/Tmax⁡)\mathrm{C}_1=2 \mathrm{r}_4\left(1-\mathrm{T} / \mathrm{T}_{\max }\right)C1=2r4(1−T/Tmax) 是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。 LF\mathrm{L}_{\mathrm{F}}LF 是莱维飞行函数，计算如下:
LF=0.05×u×σ∣v∣1/βσ=(Γ(1+β)×sin⁡(πβ/2)Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2)1/β\begin{gathered} \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=0.05 \times \frac{\mathrm{u} \times \sigma}{|\mathrm{v}|^{1 / \beta}} \\ \sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin (\pi \beta / 2)}{\Gamma((1+\beta) / 2) \times \beta \times 2^{(\beta-1) / 2}}\right)^{1 / \beta} \end{gathered} LF=0.05×∣v∣1/βu×σσ=(Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2Γ(1+β)×sin(πβ/2))1/β
其中， uuu 和 vvv 为正态分布随机数， β\betaβ 为默认常数，等于1.5。

1.3 鲸鱼坠落

为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表示为：
XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_5 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_6 \mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{r}_7 \mathrm{X}_{\text {step }} XiT+1=r5XiT−r6XrT+r7Xstep
其中， r5、r6\mathrm{r}_5 、 \mathrm{r}_6r5、r6 和 r7\mathrm{r}_7r7 是 (0,1)(0,1)(0,1) 之间的随机数， Xstep\mathrm{X}_{\mathrm{step}}Xstep 是鲸鱼坠落的步长，定义为:
Xstep =(ub−lb)exp⁡(−C2T/Tmax⁡)\mathrm{X}_{\text {step }}=\left(\mathrm{u}_{\mathrm{b}}-\mathrm{l}_{\mathrm{b}}\right) \exp \left(-\mathrm{C}_2 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max }\right) Xstep =(ub−lb)exp(−C2 T/Tmax)
其中， C2\mathrm{C}_2C2 是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子 (C2=2Wf×n)\left(\mathrm{C}_2=2 \mathrm{~W}_{\mathrm{f}} \times \mathrm{n}\right)(C2=2 Wf×n) ， ub\mathrm{u}_{\mathrm{b}}ub 和 lb\mathrm{l}_{\mathrm{b}}lb 分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。
在该模型中，鲸鱼坠落概率 (Wf)\left(\mathrm{W}_{\mathrm{f}}\right)(Wf) 作为线性函数计算:
Wf=0.1−0.05T/Tmax⁡\mathrm{W}_{\mathrm{f}}=0.1-0.05 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max } Wf=0.1−0.05 T/Tmax
鲸鱼队落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的 0.050.050.05 ，表明在优化过程中，当白鲸更接近食物源时，白鲸的危险性降低。

3.实验结果

4.参考文献

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.

5.Matlab代码

6.python代码