2021年中国研究生数学建模竞赛A题（华为公司命题）——相关矩阵组的低复杂度计算和存储建模

一、问题背景

计算机视觉、相控阵雷达、声呐、射电天文、无线通信等领域的信号通常呈现为矩阵的形式，这一系列的矩阵间通常在某些维度存在一定的关联性，因此数学上可用相关矩阵组表示。例如，视频信号中的单帧图像可视为一个矩阵，连续的多帧图像组成了相关矩阵组，而相邻图像帧或图像帧内像素间的关联性则反映在矩阵间的相关性上。随着成像传感器数量/雷达阵列/通信阵列的持续扩大，常规处理算法对计算和存储的需求成倍增长，从而对处理器件或算法的实现成本和功耗提出了巨大的挑战。因此，充分挖掘矩阵间关联性，以实现低复杂度的计算和存储，具有十分重要的价值和意义。

二、建模描述

下面对建模过程中涉及的计算复杂度、存储复杂度的定义进行说明：

计算复杂度定义为由矩阵组H计算得到结果矩阵组W所需要的总计算复杂度。复数矩阵运算可拆解为基本的复数运算，而基本的复数运算又可进一步拆解为基本的实数运算。例如，复数乘法按照(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bc)j计算的复杂度为4次实数乘法和2次实数加(减)法。实数基本运算的复杂度按照下表计算，其中，实数的加(减)法运算与乘法运算的计算复杂度对比可参考文献[1]。

在本题目中，利用相关矩阵组的关联性降低计算复杂度可以从如下基础方向（或你认为其他更合适的方向）中的一个或者多个方向切入完成建模题目：

三、建模问题

输入矩阵组H、标准中间矩阵组V和标准输出矩阵组W的数据及其维度如下，数据采用十进制格式：

附件中提供.mat及.csv文件格式的数据，按需使用其中的一种文件格式即可。

请基于以上提供的数据，采用适当的方法，解决以下相关矩阵组的低复杂度计算和存储建模问题。注意，提交结果及论文需要完成以下问题1、问题2中的至少一题，同时完成两题将适当加分。问题3为开放式问题，不作为必选，但鼓励尝试，有新意的算法模型设计将得到加分。

在完成以下问题时，仅需考虑各个问题本身申明的建模需求，不需要考虑其他问题产生的建模需求。例如，在完成问题3时，不需要额外考虑问题1中ρ_min (V)的建模估计精度需求。

问题1：相关矩阵组的低复杂度计算

问题2：相关矩阵组的低复杂度存储

问题3：相关矩阵组的低复杂度计算和存储

参考文献

[1] Swartzlander, Earl E., and Hani H. Saleh. “Floating-point implementation of complex multiplication.” 2009 Conference Record of the Forty-Third Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. IEEE, 2009.
[2] Golub, Gene, and William Kahan. “Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix.” Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis 2.2 (1965): 205-224.
[3] Strassen, Volker. “Gaussian elimination is not optimal.” Numerische mathematik 13.4 (1969): 354-356.
[4] Coppersmith, Don, and Shmuel Winograd. “Matrix multiplication via arithmetic progressions.” Proceedings of the nineteenth annual ACM symposium on Theory of computing. 1987.
[5] Halko, Nathan, Per-Gunnar Martinsson, and Joel A. Tropp. “Finding structure with randomness: Probabilistic algorithms for constructing approximate matrix decompositions.” SIAM review 53.2 (2011): 217-288.
[6] 网址：https://gregorygundersen.com/blog/2019/01/17/randomized-svd/

附录

附录一：矩阵的奇异值分解简介

附录二：相关矩阵组的计算流程图

附录三：基于双对角化和QR分解的SVD分解简介

附录四：降低矩阵乘法的计算复杂度的思想

历史文献已经证明，矩阵求逆的计算复杂度与矩阵乘法的计算复杂度在均使用***O(∙)***的方式进行度量时是相同的，因此，降低矩阵乘法的计算复杂度可以有效地降低矩阵求逆的计算复杂度。

一种降低矩阵乘法的计算复杂度的思想是通过合理的构造（probabilistic constructions）和转化来减少运算数目的需求。这里通过如下例子进行简要说明：在正文中，一种直观的复数乘法过程(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bc)j使用了4次实数乘法和2次实数加(减)法。下面换用另一种计算方法，我们令

则有(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bc)j=(m₁-m₂+m₃ )+(m₂+m₃ )j。经统计可知，该复数乘法过程共使用3次实数乘法和5次实数加(减)法。虽然根据表格，原方法与上述计算方法具有相同的计算复杂度14，但将标准计算进行构造（probabilistic constructions）和转化来降低计算复杂度的思想仍具有较强的启发性。

附录五：基于随机SVD的SVD分解简介