【证明】实对称矩阵特征向量正交

性质 1　设 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2 是对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 的两个特征值，p1,p2\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2p1,p2 是对应的特征向量。若 λ1≠λ2\lambda_1 \ne \lambda_2λ1=λ2，则 p1\boldsymbol{p}_1p1 与 p2\boldsymbol{p}_2p2 正交。

证明　因为 A\boldsymbol{A}A 为对称矩阵，所以有
λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA(1)\lambda_1 \boldsymbol{p}_1^T = (\lambda_1 \boldsymbol{p}_1)^T = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_1)^T = \boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{A} \tag{1} λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA(1)
于是将 (1)(1)(1) 式代入，有
λ1p1Tp2=(p1TA)p2=p1T(Ap2)=p1Tλ2p2=λ2p1Tp2\lambda_1 \boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{p}_2 = (\boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{A}) \boldsymbol{p}_2 = \boldsymbol{p}_1^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_2) = \boldsymbol{p}_1^T \lambda_2 \boldsymbol{p}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{p}_2 λ1p1Tp2=(p1TA)p2=p1T(Ap2)=p1Tλ2p2=λ2p1Tp2
即
(λ1−λ2)p1Tp2=0(\lambda_1 - \lambda_2) \boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{p}_2 = \boldsymbol{0} (λ1−λ2)p1Tp2=0
因为 λ1≠λ2\lambda_1 \ne \lambda_2λ1=λ2，所以 p1Tp2=0\boldsymbol{p}_1^T \boldsymbol{p}_2 = \boldsymbol{0}p1Tp2=0，即 p1\boldsymbol{p}_1p1 与 p2\boldsymbol{p}_2p2 正交。得证。

【证明】实对称矩阵特征向量正交相关推荐

证明实对称矩阵的幂仍然是实对称矩阵
要用到对角化,手写了一下证明过程:
58欧氏空间05——实对称矩阵的正交相似对角化
证明：对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交
前言不同特征值对应的特征向量相互正交,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:实对称矩阵必可相似对角化.对于一个 n 维矩阵,其可相似对角化的充分且必要条件是- ...
线性代数的问题：是否存在这样的矩阵，它满足正交对角化的条件，但它不是实对称矩阵呢？
对称矩阵的对角化问题定理 :对称矩阵的特征值是实数. 定理:设A是n阶对称阵,则必有正交阵P,使得P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^{T}AP= \LambdaP−1AP=PTAP=Λ, ...
线性代数学习笔记——第七十三讲——实对称矩阵的特征值与特征向量
1. 实对称矩阵的特征值都是实数 2. 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交
实对称矩阵为正定矩阵的一个充分必要条件
本文是为了在学习凸优化的时候遇到的一个问题展开讨论的.目的是能够明白凸优化的理论基础,或者尽可能的明白它的理论基础. 1,对称矩阵的特征值是实数. 证明如下:(我是用latex编辑的,这里不能显示公式 ...
实对称矩阵的性质_浅谈矩阵的相似对角化（一）
森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系zhuanlan.zhihu.com 通过前面的讨论,我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的,进而我们可以通过选取 ...
【机器学习】【线性代数 for PCA】矩阵与对角阵相似、一般矩阵的相似对角化、实对称矩阵的相似对角化
Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程. 1.对角矩阵如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵: (1)是一个方阵 (2)只有对角线元素是非零元素 ...
参考答案：05 实对称矩阵与二次型
本篇图文为<线性代数及其应用>这本教材对应习题册的参考答案. 本章是特征值与特征向量知识的延续,根据谱定理可知实对称矩阵可以正交对角化,对角阵为其特征值,正交矩阵为其两两正交的单位特征向量 ...

【证明】实对称矩阵特征向量正交

【证明】实对称矩阵特征向量正交相关推荐

最新文章

热门文章