机电控制基础之相位滞后校正

以下为我学习的小结，难免有错误不当之处，请各位多批评指正，多交流讨论。

滞后校正装置的传递函数为： $G_{c}=\frac{Ts+1}{\beta Ts+1}(\beta >1)$ ,其频率特性如下图伯德图所示：

由此可见，相位滞后校正主要利用负幅值段，使被校正系统高频段衰减，幅值穿越频率左移，从而获得充分的相位裕量，其相位滞后部分要远离预计的新的幅值穿越频率（大约5倍的关系），使得相位滞后特性在校正中基本不起作用。下面通过一例题进行分析。在滞后环节中，两个转折频率为 $\omega _{1}=1/(\beta T)$ , $\omega _{2}=1/T$ ( $\omega _{1}<\omega _{2}$ )。

当 $\omega$ < $\omega _{1}$ 时，L( $\omega$ )=0(近似)，(1段)

当 $\omega _{1}<\omega < \omega _{2}$ ，L( $\omega$ )=-20lg( $\omega$ )+20lg( $1/(\beta T)$ )（2段）

当 $\omega$ > $\omega _{2}$ 时，L( $\omega$ )=20lg( $1/\beta$ );（3段）

滞后校正的基本思路为：把校正后的穿越频率预设在3段，并使截止频率1/T远离该穿越频率。

某一单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}$ ,试设计校正装置，使得校正后单位速度输入稳态误差为 $e_{ss}$ =0.2,相位裕量 $\gamma$ >40度，幅值裕量 $K_{g}>10dB$ 。

(1)由稳态误差计算开环增益K=1/ $e_{ss}$ =5.

(2)画出系统校正前的开环传递函数的伯德图：

由MATLAB计算绘制的伯德图可知，原系统的幅值裕量为-4.44，相位裕量为（-193+180）=-13度，均不符合要求，先采用相位滞后校正方法来校正。

(3)确定校正后系统的幅值穿越频率 $\omega _{c}$

$\phi (\omega _{c})=-90-artg(\omega _{c})-artg(\omega _{c}/2)=40+5+(-180)=-135$ 度（其中40为要求的相位裕量，5为为了补偿滞后校正中相位滞后带来的影响），解得 $\omega _{c}$ =0.56rad/s。

(4)有新的穿越频率 $\omega _{c}$ 确定 $\beta$

$L(\omega _{c})=-20lg(\omega _{c})+20lg5=20lg(5/0.56)$ ,

-20lg(1/ $\beta$ )= $L(\omega _{c})$ ,解得 $\beta$ =8.93

(5)确定校正环节的装着频率1/T= $\omega _{c}$ /5,解得T=8.93,所以相位滞后校正环节的传递函数为 $G_{c}=\frac{8.93s+1}{79.72s+1}(\beta >1)$ ，校正后的传递函数为 $G=\frac{5(8.93s+1)}{ s(79.72s+1)(s+1)(0.5s+1)}$

(6)画出校正后系统开环传递函数的伯德图

校正后的幅值裕量为13.2rad/s，相位裕量为38.3度，符合要求，完毕。

附MATLAB绘图代码（校正后）

1、伯德图绘制

clc;
clear all;
close all;
s=tf('s');
G0=5*(8.93*s+1)/(s*(79.72*s+1)*(s+1)*(0.5*s+1)); %%开环传递函数
s=tf('s');
figure(2)
margin(G0);
[gm,pm,wg,wp]=margin(G0);
grid;

1、时域响应图绘制

s=tf('s');
t=0:0.1:20; %%设置仿真时间
u=t;
G0=5/(s*(s+1)*(0.5*s+1)); %%开环传递函数
G1=5*(8.93*s+1)/(s*(79.72*s+1)*(s+1)*(0.5*s+1)); %%开环传递函数
G=feedback(G0,1);%%闭环传递函数
Gc=feedback(G1,1);%%闭环传递函数
figure(1);
lsim(G,u,t)
hold on,lsim(Gc,u,t);
grid;
xlabel('t');ylabel('c(t)');
title('单位斜坡响应');

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