Jacobian矩阵梯度矩阵矩阵偏导与微分常见公式

矩阵求导是机器学习中常见的运算方法，研究对象包括标量矩阵，求导分为标量矩阵求导，矩阵求导。
根据个人理解和经验，机器学习中的优化目标一般是一个由向量或矩阵运算得到的标量，因此应该重点关注标量对向量和矩阵的求导。
本文总结了矩阵求导的定义和常见公式，主要内容来自张贤达《矩阵分析与应用（第二版）》的第三章。

Jacobian矩阵

矩阵导数可以理解成实值标量函数、实值向量函数、实值矩阵函数对于向量或矩阵中的每一个元素的偏导，是由一系列偏导组成的。

若有mmm维列向量x∈Rm×1x\in \mathbb{R}^{m\times 1}x∈Rm×1，变元为xxx的实值标量函数f(x)f(x)f(x)在xxx处的偏导向量定义为：
∂f(x)∂xT=[∂f∂x1,∂f∂x2,⋯,∂f∂xm]\frac{\partial f(x)}{\partial x^T} =[\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_m}] ∂xT∂f(x)=[∂x1∂f,∂x2∂f,⋯,∂xm∂f]

若有矩阵X∈Rm×nX\in \mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n，变元为XXX的实值标量函数f(X)f(X)f(X)在XXX处的Jacobian矩阵定义为：
∂f(X)∂xT=[∂f(X)∂X11⋯∂f(X)∂Xm1⋮⋱⋮∂f(X)∂X1n⋯∂f(X)∂Xmn]∈Rn×m\frac{\partial f(X)}{\partial x^T} =\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f(X)}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)}{\partial X_{m1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(X)}{\partial X_{1n}} & \cdots & \frac{\partial f(X)}{\partial X_{mn}} \\ \end{matrix} \right]\in \mathbb{R}^{n\times m} ∂xT∂f(X)=⎣⎢⎢⎡∂X11∂f(X)⋮∂X1n∂f(X)⋯⋱⋯∂Xm1∂f(X)⋮∂Xmn∂f(X)⎦⎥⎥⎤∈Rn×m

对于矩阵X∈Rm×nX\in \mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n，实值矩阵函数f(X)∈Rp×qf(X)\in \mathbb{R}^{p\times q}f(X)∈Rp×q在XXX处的Jacobian矩阵定义为：
∂f(X)∂XT=[∂f(X)11∂X11⋯∂f(X)11∂Xm1⋯∂f(X)11∂Xmn⋮⋱⋮⋱⋮∂f(X)p1∂X11⋯∂f(X)p1∂Xm1⋯∂f(X)p1∂Xmn⋮⋱⋮⋱⋮∂f(X)pq∂X11⋯∂f(X)pq∂Xm1⋯∂f(X)pq∂Xmn]∈Rpq×mn\frac{\partial f(X)}{\partial X^T} =\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{m1}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{mn}} \\ \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\ \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{m1}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{mn}} \\ \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\ \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{m1}} &\cdots & \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{mn}} \\ \end{matrix} \right]\in \mathbb{R}^{pq\times mn} ∂XT∂f(X)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∂X11∂f(X)11⋮∂X11∂f(X)p1⋮∂X11∂f(X)pq⋯⋱⋯⋱⋯∂Xm1∂f(X)11⋮∂Xm1∂f(X)p1⋮∂Xm1∂f(X)pq⋯⋱⋯⋱⋯∂Xmn∂f(X)11⋮∂Xmn∂f(X)p1⋮∂Xmn∂f(X)pq⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∈Rpq×mn
这个Jacobian矩阵是分别对f(X)f(X)f(X)和XXX做向量化然后逐元素求偏导得到的。这里的f(X)f(X)f(X)和XXX都是按列展开的。
有了这个通用公式，其他关于向量的各种Jacobian矩阵也都有定义了。

梯度矩阵

实值标量函数f(x)f(x)f(x)在列向量变元x∈Rm×1x\in \mathbb{R}^{m\times 1}x∈Rm×1处的梯度向量定义为：
∂f(x)∂x=[∂f(x)∂x1,⋯,∂f(x)∂xm]T\frac{\partial f(x)}{\partial x} =[\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial f(x)}{\partial x_m}]^T ∂x∂f(x)=[∂x1∂f(x),⋯,∂xm∂f(x)]T
注意这是个列向量。
实值标量函数f(X)f(X)f(X)在矩阵变元X∈Rm×nX\in \mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n处的梯度矩阵定义为：
∂f(X)∂X=[∂f(X)∂X11⋯∂f(X)∂X1n⋮⋱⋮∂f(X)∂Xm1⋯∂f(X)∂Xmn]∈Rm×n\frac{\partial f(X)}{\partial X} =\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f(X)}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)}{\partial X_{1n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(X)}{\partial X_{m1}} & \cdots & \frac{\partial f(X)}{\partial X_{mn}} \\ \end{matrix} \right]\in \mathbb{R}^{m\times n} ∂X∂f(X)=⎣⎢⎢⎡∂X11∂f(X)⋮∂Xm1∂f(X)⋯⋱⋯∂X1n∂f(X)⋮∂Xmn∂f(X)⎦⎥⎥⎤∈Rm×n
实值矩阵函数f(X)∈Rp×qf(X)\in \mathbb{R}^{p\times q}f(X)∈Rp×q在矩阵变元X∈Rm×nX\in \mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n处的梯度矩阵定义为：
∂f(X)∂X=[∂f(X)11∂X11⋯∂f(X)p1∂X11⋯∂f(X)pq∂X11⋮⋱⋮⋱⋮∂f(X)11∂Xm1⋯∂f(X)p1∂Xm1⋯∂f(X)pq∂Xm1⋮⋱⋮⋱⋮∂f(X)11∂Xmn⋯∂f(X)p1∂Xmn⋯∂f(X)pq∂Xmn]∈Rmn×pq\frac{\partial f(X)}{\partial X} =\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{11}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{11}} \\ \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\ \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{m1}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{m1}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{m1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots &\ddots & \vdots\\ \frac{\partial f(X)_{11}}{\partial X_{mn}} & \cdots & \frac{\partial f(X)_{p1}}{\partial X_{mn}} &\cdots & \frac{\partial f(X)_{pq}}{\partial X_{mn}} \\ \end{matrix} \right]\in \mathbb{R}^{mn\times pq} ∂X∂f(X)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∂X11∂f(X)11⋮∂Xm1∂f(X)11⋮∂Xmn∂f(X)11⋯⋱⋯⋱⋯∂X11∂f(X)p1⋮∂Xm1∂f(X)p1⋮∂Xmn∂f(X)p1⋯⋱⋯⋱⋯∂X11∂f(X)pq⋮∂Xm1∂f(X)pq⋮∂Xmn∂f(X)pq⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∈Rmn×pq
相同函数与变元对应的Jacobian矩阵和梯度矩阵互为转置关系。

不知道是张老的书写的不够简明扼要，还是我没认真看，这么简单的定义我看了好久才搞明白。书中指出，在流行计算、几何物理、微分几何等领域，行向量偏导向量和Jacobian矩阵是最自然的选择，在最优化和许多工程问题中，梯度向量和梯度矩阵是最自然的选择。这也符合我的一些经验，梯度矩阵看起来要比Jacobian矩阵顺眼很多。

一般见到的矩阵导数是梯度矩阵的形式。 说白了Jacobian矩阵是对XTX^TXT求导得到的，梯度矩阵是对XXX求导得到的。

矩阵偏导和梯度计算法则

一般说的矩阵导数就是梯度矩阵或向量。根据定义可有如下常用运算法则：

若ccc为常数，∂c∂X=Om×n\frac{\partial c}{\partial X}=O_{m\times n}∂X∂c=Om×n，Om×nO_{m\times n}Om×n是mmm行nnn列的0矩阵.
∂[c1f(X)+c2g(X)]∂X=c1∂f(X)∂X+c2∂g(X)∂X\frac{\partial [c_1f(X)+c_2g(X)]}{\partial X}=c_1 \frac{\partial f(X)}{\partial X}+c_2 \frac{\partial g(X)}{\partial X}∂X∂[c1f(X)+c2g(X)]=c1∂X∂f(X)+c2∂X∂g(X)
∂[f(X)g(x)]∂X=g(X)∂f(X)∂X+f(X)∂g(X)∂X\frac{\partial [f(X)g(x)]}{\partial X}=g(X)\frac{\partial f(X)}{\partial X}+f(X)\frac{\partial g(X)}{\partial X}∂X∂[f(X)g(x)]=g(X)∂X∂f(X)+f(X)∂X∂g(X)
∂[f(X)g(X)h(X)]∂X=g(X)h(X)∂f(X)∂X+f(X)h(X)∂g(X)∂X+f(X)g(X)∂h(X)∂X\frac{\partial [f(X)g(X)h(X)]}{\partial X}=g(X)h(X)\frac{\partial f(X)}{\partial X}+f(X)h(X)\frac{\partial g(X)}{\partial X}+f(X)g(X)\frac{\partial h(X)}{\partial X}∂X∂[f(X)g(X)h(X)]=g(X)h(X)∂X∂f(X)+f(X)h(X)∂X∂g(X)+f(X)g(X)∂X∂h(X)
∂[f(X)/g(X)]∂X=1g2(X)[g(X)∂f(X)∂X−f(X)∂g(X)∂X]\frac{\partial [f(X)/g(X)]}{\partial X}=\frac{1}{g^2(X)}[g(X)\frac{\partial f(X)}{\partial X}-f(X)\frac{\partial g(X)}{\partial X}]∂X∂[f(X)/g(X)]=g2(X)1[g(X)∂X∂f(X)−f(X)∂X∂g(X)]
∂g(f(X))∂X=dg(f(X))df(X)∂f(X)∂X\frac{\partial g(f(X))}{\partial X}=\frac{dg(f(X))}{df(X)}\frac{\partial f(X)}{\partial X}∂X∂g(f(X))=df(X)dg(f(X))∂X∂f(X)
求导链式法则：∂g(f(X))∂X=dg(y)dy∂f(X)∂X\frac{\partial g(f(X))}{\partial X}=\frac{dg(y)}{dy} \frac{\partial f(X)}{\partial X}∂X∂g(f(X))=dydg(y)∂X∂f(X)

此外在计算以向量和矩阵为变元的函数的偏导时，有个重要的独立性基本假设，即向量和矩阵中的各个元素是相互独立的，用公式表示为：
∂xi∂xj={1,ifi=j0,else\frac{\partial x_i}{\partial x_j}=\left\{ \begin{array}{l} 1,if\ i=j \\ 0,else\end{array}\right. ∂xj∂xi={1,if i=j0,else
以及：
∂xkl∂xij={1,ifk=iandl=j0,else\frac{\partial x_{kl}}{\partial x_{ij}}=\left\{ \begin{array}{l} 1,if\ k=i\ and\ l=j \\ 0,else\end{array}\right. ∂xij∂xkl={1,if k=i and l=j0,else
举个根据定义求解梯度矩阵的例子，求实值函数f(X)=aTXXTbf(X)=a^TXX^Tbf(X)=aTXXTb在矩阵变元XXX处的梯度矩阵，a,ba,ba,b均为nnn维列向量：
aTXXTb=∑k=1m∑l=1nak(∑p=1nxkpxlp)bla^TXX^Tb=\sum_{k=1}^m\sum_{l=1}^na_k(\sum_{p=1}^nx_{kp}x_{lp})b_l aTXXTb=k=1∑ml=1∑nak(p=1∑nxkpxlp)bl
然后
根据定义就是这样求解的。

矩阵微分以及与一阶导数的关系：Jacobian矩阵的辨识

矩阵微分的定义为：
dX=[dXij]i,j=1m,ndX=[dX_{ij}]_{i,j=1}^{m,n} dX=[dXij]i,j=1m,n

标量对标量的导数是用微分定义的，标量fff对标量xxx的导数f′(x)f'(x)f′(x)满足df=f′(x)dxdf=f'(x)dxdf=f′(x)dx。而实值标量函数f(x)f(x)f(x)对向量xxx的导数与微分的关系，可以表示为（此表示的证明书上有）：
df(x)=∑i=1n∂f(x)∂xidxi=∂f(x)∂xTdxdf(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}dx_i=\frac{\partial f(x)}{\partial x}^Tdx df(x)=i=1∑n∂xi∂f(x)dxi=∂x∂f(x)Tdx
即f(x)f(x)f(x)的微分与xxx中每个元素的微分都有关，∂f(x)∂x\frac{\partial f(x)}{\partial x}∂x∂f(x)即为标量fff对向量xxx的梯度向量，是一个向量。

同样，实标量函数f(X)f(X)f(X)对矩阵X∈Rm×nX\in\mathbb{R}^{m\times n}X∈Rm×n求导时，f(X)f(X)f(X)的微分也与XXX中每个元素有关，表示为（此表示的证明书上有）：
df(X)=∑i=1m∑j=1n∂f(X)∂XijdXij=tr(∂f(X)∂XTdX)df(X)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(X)}{\partial X_{ij}}dX_{ij}=tr(\frac{\partial f(X)}{\partial X}^TdX) df(X)=i=1∑mj=1∑n∂Xij∂f(X)dXij=tr(∂X∂f(X)TdX)
其中trtrtr表示的是矩阵求迹运算，∂f(X)∂X\frac{\partial f(X)}{\partial X}∂X∂f(X)表示f(X)f(X)f(X)对XXX的梯度矩阵。后一个等号成立的原因是矩阵迹运算有如下性质：
tr(ATB)=∑i,jAijBijtr(A^TB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij} tr(ATB)=i,j∑AijBij
即ATBA^TBATB的迹等于AAA与BBB中对应元素乘积的和。

这部分给出了微分矩阵与实标量函数对向量和矩阵变元的Jacobian矩阵（向量）和梯度矩阵（向量）的关系，这种关系也可以用来求实标量函数对向量和矩阵变元的Jacobian矩阵和梯度矩阵，这种关系称为Jacobian矩阵的辨识。
书上还给了实矩阵函数对矩阵变元导数与微分矩阵的辨识关系，以及二阶导数与微分矩阵的关系（Hessian矩阵的辨识，Hessian矩阵即矩阵二阶导），不过由于我不是很关注，所以没写在这里。

矩阵微分运算法则

这里给出一些求矩阵微分和迹的运算法则：

d(X+Y)=dX+dY,d(XY)=(dX)Y+X(dY)d(X+Y)=dX+dY,d(XY)=(dX)Y+X(dY)d(X+Y)=dX+dY,d(XY)=(dX)Y+X(dY)
d(XT)=(dX)Td(X^T)=(dX)^Td(XT)=(dX)T
dA=0dA=0dA=0，AAA为常数矩阵.
d(aX)=ad(X)d(aX)=ad(X)d(aX)=ad(X)，aaa为常数.
d(AXB)=A(dX)Bd(AXB)=A(dX)Bd(AXB)=A(dX)B，A,BA,BA,B为常数矩阵.
d(f(X)g(X)h(X))=(df(X))g(X)h(X)+f(X)(dg(X))h(X)+f(X)g(X)(dh(X))d(f(X)g(X)h(X))=(df(X))g(X)h(X)+f(X)(dg(X))h(X)+f(X)g(X)(dh(X))d(f(X)g(X)h(X))=(df(X))g(X)h(X)+f(X)(dg(X))h(X)+f(X)g(X)(dh(X))
dtr(X)=tr(dX)dtr(X)=tr(dX)dtr(X)=tr(dX)
d∣X∣=∣X∣tr(X−1dX)d|X|=|X|tr(X^{-1}dX)d∣X∣=∣X∣tr(X−1dX)，行列式的微分

举个用微分与梯度矩阵的关系求梯度矩阵的例子，求f(X)=tr(XAXB)f(X)=tr(XAXB)f(X)=tr(XAXB)对于矩阵XXX的梯度矩阵：
dtr(XAXB)=tr(d(XAXB))=tr[(dX)AXB+XA(dX)B]=tr[(AXB+BXA)dX]dtr(XAXB)=tr(d(XAXB))\\ =tr[(dX)AXB+XA(dX)B]\\ =tr[(AXB+BXA)dX] dtr(XAXB)=tr(d(XAXB))=tr[(dX)AXB+XA(dX)B]=tr[(AXB+BXA)dX]
因此得梯度矩阵：
∂tr(XAXB)∂X=(AXB+BXA)T\frac{\partial tr(XAXB)}{\partial X}=(AXB+BXA)^T ∂X∂tr(XAXB)=(AXB+BXA)T

常用矩阵求导公式总结

在Matrix Cookbook第二章Derivatives里面有很多，这里取常见的一些总结如下。我们用∂f(X)∂X\frac{\partial f(X)}{\partial X}∂X∂f(X)表示f(X)f(X)f(X)在XXX处的导数（即梯度矩阵），大写字母为矩阵，小写字母为列向量，则有：

∂aTXb∂X=abT\frac{\partial a^TXb}{\partial X}=ab^T∂X∂aTXb=abT
∂aTXTb∂X=baT\frac{\partial a^TX^Tb}{\partial X}=ba^T∂X∂aTXTb=baT
∂xTAx∂x=(A+AT)x\frac{\partial x^TAx}{\partial x}=(A+A^T)x∂x∂xTAx=(A+AT)x
∂aTXXTb∂X=(abT+baT)X\frac{\partial a^TXX^Tb}{\partial X}=(ab^T+ba^T)X∂X∂aTXXTb=(abT+baT)X
∂aTXTXb∂X=X(abT+baT)\frac{\partial a^TX^TXb}{\partial X}=X(ab^T+ba^T)∂X∂aTXTXb=X(abT+baT)
∂bTXTDXc∂X=DXbcT+DXcbT\frac{\partial b^TX^TDXc}{\partial X}=DXbc^T+DXcb^T∂X∂bTXTDXc=DXbcT+DXcbT
∂(Xb+c)TD(Xb+c)∂X=(D+DT)(Xb+c)bT\frac{\partial (Xb+c)^TD(Xb+c)}{\partial X}=(D+D^T)(Xb+c)b^T∂X∂(Xb+c)TD(Xb+c)=(D+DT)(Xb+c)bT
∂(Ax+b)TC(Dx+e)∂x=DTCT(Ax+b)+ATC(Dx+e)\frac{\partial (Ax+b)^TC(Dx+e)}{\partial x}=D^TC^T(Ax+b)+A^TC(Dx+e)∂x∂(Ax+b)TC(Dx+e)=DTCT(Ax+b)+ATC(Dx+e)

迹的导数：

∂tr(X)∂X=I\frac{\partial tr(X)}{\partial X}=I∂X∂tr(X)=I
∂tr(XA)∂X=AT\frac{\partial tr(XA)}{\partial X}=A^T∂X∂tr(XA)=AT
∂tr(XTA)∂X=A\frac{\partial tr(X^TA)}{\partial X}=A∂X∂tr(XTA)=A
∂tr(AXT)∂X=A\frac{\partial tr(AX^T)}{\partial X}=A∂X∂tr(AXT)=A
∂tr(AXB)∂X=ATBT\frac{\partial tr(AXB)}{\partial X}=A^TB^T∂X∂tr(AXB)=ATBT
∂tr(AXTB)∂X=BA\frac{\partial tr(AX^TB)}{\partial X}=BA∂X∂tr(AXTB)=BA
∂tr(BXTX)∂X=XBT+XB\frac{\partial tr(BX^TX)}{\partial X}=XB^T+XB∂X∂tr(BXTX)=XBT+XB
∂tr(AXBX)∂X=ATXTBT+BTXTAT\frac{\partial tr(AXBX)}{\partial X}=A^TX^TB^T+B^TX^TA^T∂X∂tr(AXBX)=ATXTBT+BTXTAT
∂tr(BTXTCXB)∂X=CTXBBT+CXBBT\frac{\partial tr(B^TX^TCXB)}{\partial X}=C^TXBB^T+CXBB^T∂X∂tr(BTXTCXB)=CTXBBT+CXBBT
∂tr(AXBXTC)∂X=ATCTXBT+CAXB\frac{\partial tr(AXBX^TC)}{\partial X}=A^TC^TXB^T+CAXB∂X∂tr(AXBXTC)=ATCTXBT+CAXB
∂tr(AXTBXC)∂X=BXCA+BTXATCT\frac{\partial tr(AX^TBXC)}{\partial X}=BXCA+B^TXA^TC^T∂X∂tr(AXTBXC)=BXCA+BTXATCT
∂tr[(AXB+C)(AXB+C)T]∂X=2AT(AXB+C)BT\frac{\partial tr[(AXB+C)(AXB+C)^T]}{\partial X}=2A^T(AXB+C)B^T∂X∂tr[(AXB+C)(AXB+C)T]=2AT(AXB+C)BT

范数的导数：

∂∥x∥22∂x=∂xTx∂x=2x\frac{\partial \|x\|_2^2}{\partial x}=\frac{\partial x^Tx}{\partial x}=2x∂x∂∥x∥22=∂x∂xTx=2x
∂∂x∥x−a∥2=x−a∥x−a∥2\frac{\partial }{\partial x}\|x-a\|_2=\frac{x-a}{\|x-a\|_2}∂x∂∥x−a∥2=∥x−a∥2x−a
∂∥X∥F2∂X=∂∂Xtr(XXH)=2X\frac{\partial \|X\|_F^2}{\partial X}=\frac{\partial }{\partial X}tr(XX^H)=2X∂X∂∥X∥F2=∂X∂tr(XXH)=2X

行列式的导数：

∂det(X)∂X=det(X)(X−1)T\frac{\partial det(X)}{\partial X}=det(X)(X^{-1})^T∂X∂det(X)=det(X)(X−1)T
∂det(AXB)∂X=det(AXB)(X−1)T=det(AXB)(XT)−1\frac{\partial det(AXB)}{\partial X}=det(AXB)(X^{-1})^T=det(AXB)(X^{T})^{-1}∂X∂det(AXB)=det(AXB)(X−1)T=det(AXB)(XT)−1

暂时就这些，以后还有别的再补充。Matrix Cookbook上还有许多其他公式，也有的公式没有给出。如前所述，目前关注的还是实标量函数对矩阵和向量的导数，许多实矩阵函数对矩阵的导数的公式这里没有给出。

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