第一种三次样条函数的Matlab求解

来源：李庆杨等第五版《数值分析》P44页例题。目的：回顾一下matlab的基本用法。

首先根据书中给出的数学表达式编写求解弯矩（书上这么叫的）函数：

function [M,A,d,H] = SolveSpline_1(x,y,diff_y0,diff_yn)%Function：求解第一种三次样条函数插值%变量说明：%Input varibles:% x：自变量数据（以列的形式输入）% y：因变量数据（以列的形式输入）% diff_y0：左端点导数值% diff_yn：右端点到数值%Output varibles:%M：三次样条函数中的弯矩%A：三对角矩阵%d：右端向量%H：节点步长xx = x(2:end);a = x(1);%作为x0点[n,m] = size(xx);A = 2*eye(n+1,n+1);%初始化三对角矩阵H = diff(x);%对角参数设置mu = zeros(n,1);mu(n) = 1;for k = [1:n-1]mu(k) = H(k)/(H(k) + H(k+1));endlambda = zeros(n,1);lambda(1) = 1;for k = [2:n]lambda(k) = H(k)/(H(k-1) + H(k)); endd = zeros(n+1,1);%temp = (y(2) - y(1))/(x(2) - x(1))d(1) = (6/H(1))*((y(2) - y(1))/(x(2) - x(1)) - diff_y0);%temp = diff_yn - ((y(end) - y(end-1))/(x(end) - x(end-1)))d(n+1) = (6/H(n))*(diff_yn - ((y(end) - y(end-1))/(x(end) - x(end-1))));for k = [2:n]%temp = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k))%temp = (y(k) - y(k-1))/(x(k) - x(k-1))d(k) = 6*((y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k)) - (y(k) - y(k-1))/(x(k) - x(k-1)))/(x(k+1) - x(k-1));end%给出三对角矩阵A = A + diag(mu,-1) + diag(lambda,1);%求解MM = A^(-1)*d;
end%这样求解完 M 后，便可将 M 带入到三次样条函数表达式中去，从而便得出了小区间上的三次样条插值函数

再编写主函数并绘制三次样条插值函数的图像，如下：

clc,clear all
x = [27.7,28,29,30]';
y = [4.1,4.3,4.1,3.0]';
diff_y0  = 3.0;
diff_yn = -4.0;
[M,A,d,H] = SolveSpline_1(x,y,diff_y0,diff_yn);%利用分段函数的写法给出三次样条插值函数
[n,m] = size(x);
n = n-1;
t = [27.7:0.001:30];
S = 0;
for k = [1:n]%{temp = (x(k+1) - t).^3./(6*H(k))temp = (t - x(k)).^3./(6*H(k))temp = y(k) - M(k)*H(k)^2/6temp = (x(k+1) - t)/H(k)temp = y(k+1) - M(k+1)*H(k)^2/6temp = x(k+1) - ttemp = (t - x(k+1))./H(k)
%}S = S + (M(k)*((x(k+1) - t).^3./(6*H(k))) + M(k+1)*((t - x(k)).^3./(6*H(k))) ... + (y(k) - M(k)*H(k)^2/6).*((x(k+1) - t)/H(k)) + (y(k+1) - M(k+1)*H(k)^2/6).*((t - x(k))./H(k))).*(t > x(k) & t < x(k+1));
endfigure
title('Demo about spline');
hold on
plot(t,S);
scatter(x,y)
hold off
xlabel('X');
ylabel('Y');
legend('spline function','previous points')
grid on;

最后，简单的绘图结果如下：

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