前言

模板一套就AC了...

题目

guardians.cpp 1S/128M

你负责将监狱的警卫指派到最疯狂的罪犯所在的监狱。一共有N间牢房排列成一行，编号从1~N。第i间牢房恰好容纳了一个疯狂程度为C[i]的罪犯。

每个罪犯都应该有一个警卫监视他/她。理想情况下，应该让一名警卫监视一个罪犯。然而，由于预算限制，你只能分配G个警卫。为了最大程度地降低有人逃脱的总风险，你必须指定每个警卫应该监视哪些罪犯。当然，你应该将每个警卫分配给一组相邻的牢房。
第i个罪犯可能逃脱的风险R[i]由下式给出：
R[i] = C[i] * 指派监视他的警卫监视的罪犯数量
请你分配一个最佳的方案，使所有罪犯的风险之和最小。

输入
第1行：2个整数N和G (1 <= N <= 8000, 1 <= G <= 800)
第2行：N个整数，表示C[i] （ 1 <= C[i] <= 10^9）

输出
第1行：1个整数，表示答案

Sample Input
6 3
11
11
11
24
26
100

Sample Output
299

Explain
第1个警卫监视1~3，第2个警卫监视4~5，第3个警卫监视6

分析

详细的关于该优化的讲解我有写博客：决策单调性分治优化

经观察可以发现本题基本模型为：分组+花费最小

可以写出DP定义与转移方程：

dp[ i ][ j ]：1~j个犯人被第i个狱长监管

对于最后一个狱长i，假设从第k到j的犯人被最后第i狱长监管

dp[ i ][ j ]=min( dp[ i ][ j ],dp[ i-1 ][ k-1 ]+( s[ j ] - s[ k ] ) * ( j - k + 1 ) ) ;

s[ i ]：1~i的前缀和

初始化：dp[ 1 ][ 1~n ]=INF

然后直接套用【决策单调性分治优化】或【四边形不等式优化】即可，详见代码

决策单调性分治优化-代码（含暴力DP）

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=8000,MAXG=800;
#define INF (1LL << 60)
ll c[MAXN+5],s[MAXN+5],dp[MAXG+5][MAXN+5];
ll n,g;
void DP(ll d,ll i,ll j,ll optl,ll optr)//决策优化
{if(i>j)return ;ll mid=(i+j)/2;ll opt=INF,id;//暴力计算二分点的dp值opt与最小决策点id for(int k=optl;k<=min(mid,optr);k++){ll cur=dp[d-1][k-1]+(mid-k+1)*(s[mid]-s[k-1]);if(cur<opt)opt=cur,id=k;}dp[d][mid]=opt;//递归求解决策点左右两部分的dp值 DP(d,i,mid-1,optl,id);DP(d,mid+1,j,id,optr);
}
void Solve1()
{for(int i=1;i<=n;i++)dp[0][i]=INF;for(int i=1;i<=g;i++)DP(i,1,n,1,n);printf("%lld\n",dp[g][n]);
}
void Solve2()//普通DP(没调出来，奇怪)
{/*dp[i][j]:1~j个犯人被第i个狱长监管对于最后一个狱长i，假设从第k到j的犯人被最后第i狱长监管 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k-1]+(s[j]-s[k])*(j-k+1)); */for(int i=1;i<=n;i++)dp[1][i]=INF;//dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=g;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=j;k++){//printf("(%d,%d):%lld\n",i,j,dp[i][j]);dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k-1]+(j-k+1)*(s[j]-s[k-1]));//printf(" %lld\n",dp[i][j]);}printf("%lld\n",dp[g][n]);
}
int main()
{//freopen("guardians.in","r",stdin);//freopen("guardians.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&g);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);s[i]=s[i-1]+c[i];}Solve1();//Solve2();return 0;
}

四边形不等式优化-代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=8000,MAXG=800;
#define INF (1LL<<60)
ll c[MAXN+5],s[MAXN+5],dp[MAXG+5][MAXN+5];
ll n,g;
void Solve()
{for(int i=0;i<=g;i++)for(int j=0;j<=n;j++)dp[i][j]=INF;dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=g;i++){ll opt=0;for(int j=i;j<=n;j++)for(int k=opt;k<=j;k++){ll tmp=1ll*(j-k+1)*(s[j]-s[k-1]);if(dp[i-1][k-1]+tmp<=dp[i][j])dp[i][j]=dp[i-1][k-1]+tmp,opt=k;}}/*打表验证单调性 for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++){w[i][j]=(j-i+1)*(s[j]-s[i-1]);//printf("%d %d %lld\n",i,j,w[i][j]);}for(int a=1;a<=n;a++)for(int b=a+1;b<=n;b++)for(int c=b+1;c<=n;c++)for(int d=c+1;d<=n;d++)printf("%d %d %d %d %lld %lld\n",a,b,c,d,w[a][c]+w[b][d],w[a][d]+w[b][c]);*/printf("%lld\n",dp[g][n]);
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&g);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);s[i]=s[i-1]+c[i];}Solve();return 0;
}

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【决策单调性分治优化/四边形不等式优化】监狱警卫

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决策单调性分治优化-代码（含暴力DP）

四边形不等式优化-代码

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