左神算法：找到二叉树中的最大搜索二叉子树（树形dp套路，Java版）

本题来自左神《程序员代码面试指南》“找到二叉树中的最大搜索二叉子树”题目。

题目

给定一棵二叉树的头节点 head，已知其中所有节点的值都不一样，找到含有节点最多的搜索二叉子树，并返回这棵子树的头节点。

例如，二叉树如图 3-17 所示。
这棵树中的最大搜索二叉子树如图 3-18 所示。

要求：如果节点数为 N，则要求时间复杂度为 O(N)，额外空间复杂度为 O(h)，其中，h 为二叉树的高度。

题解

本题涉及二叉树面试题中一个很常见的套路，也是全书的一个重要内容。利用分析可能性求解在二叉树上做类似动态规划的问题。请读者理解并学习这种套路，本章还有很多面试题目是用这个套路求解的，我们把这个套路的名字叫作 树形 dp 套路。

树形dp 套路使用前提：如果题目求解目标是S 规则，则求解流程可以定成以每一个节点为头节点的子树在S 规则下的每一个答案，并且最终答案一定在其中。

如何理解这个前提呢？以本题为例，题目求解目标是：整棵二叉树中的最大搜索二叉子树，这就是我们的规则。那么求解流程可不可以定成：在整棵二叉树中，求出每一个节点为头节点的子树的最大搜索二叉子树（对任何一棵子树都求出答案），并且最终答案（整棵二叉树的最大搜索二叉子树）一定在其中？当然可以。因此，本题可以使用套路。

树形dp 套路第一步：

以某个节点X 为头节点的子树中，分析答案有哪些可能性，并且这种分析是以X 的左子树、X 的右子树和X 整棵树的角度来考虑可能性的。

用本题举例。以节点X 为头节点的子树中，最大的搜索二叉子树只可能是以下三种情况中可能性最大的那种。

第一种：X 为头节点的子树中，最大的搜索二叉子树就是X 的左子树中的最大搜索二叉子树。也就是说，答案可能来自左子树。比如，本例中，当X 为节点12 时。
第二种：X 为头节点的子树中，最大的搜索二叉子树就是X 的右子树中的最大搜索二叉子树。也就是说，答案可能来自右子树。比如，本例中，当X 为节点6 时。
第三种：如果X 左子树上的最大搜索二叉子树是X 左子树的全体，X 右子树上的最大搜索二叉子树是X 右子树的全体，并且X 的值大于X 左子树所有节点的最大值，但小于X 右子树所有节点的最小值，那么X 为头节点的子树中，最大的搜索二叉子树就是以X 为头节点的全体。
也就是说，答案可能是用X 连起所有。比如，本例中，当X 为节点10 时。

树形dp 套路第二步：

根据第一步的可能性分析，列出所有需要的信息。

用本题举例，为了分析第一、二种可能性，需要分别知道左子树和右子树上的最大搜索二叉子树的头部，记为leftMaxBSTHead、rightMaxBSTHead，因为要比较大小，所以还需要分别知道左子树和右子树上的最大搜索二叉子树的大小，记为leftBSTSize、rightBSTSize，并且有了这些信息还能帮助分析第三种可能性，因为如果知道了leftMaxBSTHead，并且发现它正好是X 的左孩子节点，则说明X左子树上的最大搜索二叉子树是X 左子树的全体。同理，可以利用rightMaxBSTHead 来判断X右子树上的最大搜索二叉子树是否为X 右子树的全体。但是有这些还不够，因为第三种可能性还要求X 的值大于X 左子树所有节点的最大值，但小于X 右子树所有节点的最小值。因此，需要从左子树上取得左子树的最大值leftMax，从右子树上取得右子树的最小值rightMin。

汇总一下，为了分析所有的可能性，左树上需要的信息为：leftMaxBSTHead、leftBSTSize、leftMax；右树上需要的信息为：rightMaxBSTHead、rightBSTSize、rightMin。

树形dp 套路第三步：

合并第二步的信息，对左树和右树提出同样的要求，并写出信息结构。

以本题举例，左树和右树都需要最大搜索二叉子树的头节点及其大小这两个信息，但是左树只需要最大值，右树只需要最小值，那么合并变成统一要求。信息结构请看如下的ReturnType 类。

树形 dp 套路第四步：

设计递归函数，递归函数是处理以X 为头节点的情况下的答案，包括设计递归的base case，默认直接得到左树和右树的所有信息，以及把可能性做整合，并且要返回第三步的信息结构这四个小步骤。本题的实现请看如下的process 方法。

package chapter_3_binarytreeproblem;public class Problem_07_BiggestSubBSTInTree {public static class Node {public int value;public Node left;public Node right;public Node(int data) {this.value = data;}}/*** 主方法：找到二叉树中的最大搜索二叉子树*/public static Node getMaxBST(Node head) {return process(head).maxBSTHead;}public static class ReturnType {public Node maxBSTHead; // 最大搜索二叉子树头结点public int maxBSTSize; // 最大搜索二叉子树大小public int min; // 右树只需最小值public int max; // 左树只需最大值public ReturnType(Node maxBSTHead, int maxBSTSize, int min, int max) {this.maxBSTHead = maxBSTHead;this.maxBSTSize = maxBSTSize;this.min = min;this.max = max;}}/*** 用递归函数设计一个二叉树后序遍历的过程：* 先遍历左子树收集信息，然后是右子树收集信息，最后在头结点做信息整合*/public static ReturnType process(Node X) {// base case : 如果子树是空树// 最小值为系统最大// 最大值为系统最小if (X == null) {return new ReturnType(null, 0, Integer.MAX_VALUE, Integer.MIN_VALUE);}// 默认直接得到左树全部信息ReturnType lData = process(X.left);// 默认直接得到右树全部信息ReturnType rData = process(X.right);// 【以下过程为信息整合】// 同时以X为头的子树也做同样的要求，也需要返回如ReturnType描述的全部信息// 以X为头的子树的最小值是：左树最小、右树最小、X的值，三者中最小的int min = Math.min(X.value, Math.min(lData.min, rData.min));// 以X为头的子树的最大值是：左树最大、右树最大、X的值，三者中最大的int max = Math.max(X.value, Math.max(lData.max, rData.max));// 如果只考虑可能性一和可能性二，以X为头的子树的“最大搜索二叉树大小”int maxBSTSize = Math.max(lData.maxBSTSize, rData.maxBSTSize);// 如果只考虑可能性一和可能性二，以X为头的子树的“最大搜索二叉树头节点”Node maxBSTHead = lData.maxBSTSize >= rData.maxBSTSize ? lData.maxBSTHead : rData.maxBSTHead;// 利用收集的信息，可以判断是否存在可能性三if (lData.maxBSTHead == X.left && rData.maxBSTHead == X.right && X.value > lData.max && X.value < rData.min) {maxBSTSize = lData.maxBSTSize + rData.maxBSTSize + 1;maxBSTHead = X;}// 【信息全部搞定】返回return new ReturnType(maxBSTHead, maxBSTSize, min, max);}// for test -- print treepublic static void printTree(Node head) {System.out.println("Binary Tree:");printInOrder(head, 0, "H", 17);System.out.println();}public static void printInOrder(Node head, int height, String to, int len) {if (head == null) {return;}printInOrder(head.right, height + 1, "v", len);String val = to + head.value + to;int lenM = val.length();int lenL = (len - lenM) / 2;int lenR = len - lenM - lenL;val = getSpace(lenL) + val + getSpace(lenR);System.out.println(getSpace(height * len) + val);printInOrder(head.left, height + 1, "^", len);}public static String getSpace(int num) {String space = " ";StringBuffer buf = new StringBuffer("");for (int i = 0; i < num; i++) {buf.append(space);}return buf.toString();}public static void main(String[] args) {Node head = new Node(6);head.left = new Node(1);head.left.left = new Node(0);head.left.right = new Node(3);head.right = new Node(12);head.right.left = new Node(10);head.right.left.left = new Node(4);head.right.left.left.left = new Node(2);head.right.left.left.right = new Node(5);head.right.left.right = new Node(14);head.right.left.right.left = new Node(11);head.right.left.right.right = new Node(15);head.right.right = new Node(13);head.right.right.left = new Node(20);head.right.right.right = new Node(16);printTree(head);Node bst = getMaxBST(head);printTree(bst);}}

树形 dp 套路就是以上四个步骤，就是利用递归函数设计一个二叉树后序遍历的过程：先遍历左子树收集信息，然后是右子树收集信息，最后在头节点做信息整合。因为是递归函数，所以对所有的子树要求一样，都返回ReturnType 的实例。依次求出每棵子树的答案，总答案一定在其中。既然是后序遍历，则时间复杂度为O(N)。