POJ3764（树上前缀和+Trie树）

最长异或路径

时间限制: 2000MS2000MS2000MS 空间限制: 64MB64MB64MB

题目描述

在一棵有边权的树上，一条路径ppp的异或长度定义为ppp上所有边权的异或和
xorlength(p)=⊕e∈pw(e)_{xor}length(p)=\oplus_{e \in p}^w(e)xorlength(p)=⊕e∈pw(e)
⊕⊕⊕是异或符号。
我们认为一条路径是最长异或路径当且经当它拥有最长的异或长度。给定一棵有边权的树，你能找出最长异或路径吗？

输入格式

输入包括若干组测试数据。每个测试点的第一行包括一个整数nnn(1≤n≤100000)(1≤n≤100000)(1≤n≤100000)，接下来n−1n-1n−1行每行包括3个整数u(0≤u<n),v(0≤v<n),w(0≤w<231)u(0 ≤ u < n),v(0 ≤ v < n),w(0 ≤ w < 2^{31})u(0≤u<n),v(0≤v<n),w(0≤w<231)表示在节点uuu和vvv之间有一条长为www的边。

输出格式

对于每组测试数据输出最长异或路径的异或长度。
样例输入
444
000 111 333
111 222 444
111 333 666

样例输出

777

提示

最长异或路径是 0−>1−>20->1->20−>1−>2，长度是7(=3⊕4)7 (=3 ⊕ 4)7(=3⊕4)
以上翻译由作者原创，不喜勿喷，转载请注明出处

解析

首先对于静态的树上两点间异或路径，我们可以通过树上前缀和解决。
任取一点为根，统计出根到每个点uuu路径上的异或长度d[u]d[u]d[u]。
那么对于任意两点u,vu,vu,v之间的异或路径就=d[u]=d[u]=d[u] xorxorxor d[v]d[v]d[v] xorxorxor d[lca(u,v)]d[lca(u,v)]d[lca(u,v)] xorxorxor d[lca(u,v)]d[lca(u,v)]d[lca(u,v)] =d[u]=d[u]=d[u] xorxorxor d[v]d[v]d[v] (x(x(x xorxorxor x=0)x = 0)x=0)

于是，问题就变成了在nnn个数中取出两个数使得它们的异或值最大。
如果直接O(n2)O(n^2)O(n2)暴力枚举显然是会超时的。
我们考虑二进制下每一位对答案的影响：

如果该位可以为111，那么无论如何都比该位000最终的答案更大
当两个数在二进制下某一位不同时，异或后的答案才为111
因此我们可以通过TrieTrieTrie树来实现这个操作。

具体实现：

对于每个d[i]d[i]d[i]将其转化成二进制数后从前往后插入TrieTrieTrie树中。
对于每个d[i]d[i]d[i]去已经生成好的TrieTrieTrie树中二分，若当前节点有与当前位不同的儿子节点，则往该儿子节点搜索，否则只能往与当前位相同的儿子节点搜索。

Tips:Tips:Tips:因为有多组数据，注意将TrieTrieTrie树手动清空。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
const int maxe = 100005;
int edgenum;
int Next[maxe << 1] , vet[maxe << 1] , val[maxe << 1] , head[maxn];
int d[maxn];
int len;
bool a[35];
int id;
int max(int x , int y){return x > y ? x : y;}
void swap(int &x , int &y){x ^= y , y ^= x , x ^= y;}
int read()
{char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();int res = 0;while(ch >= '0' && ch <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ 48) , ch = getchar();return res;
}
void add_edge(int u , int v , int cost)
{edgenum++;Next[edgenum] = head[u];vet[edgenum] = v;val[edgenum] = cost;head[u] = edgenum;
}
void dfs(int u , int fa)
{for(int e = head[u];e;e = Next[e]){int v = vet[e];if(v == fa) continue;d[v] = d[u] ^ val[e];dfs(v , u);}
}
struct Trie
{private:int cnt;int ch[35 * maxn][2] , d_id[35 * maxn];public:int rt;void clear(){rt = 1 , cnt = 1;memset(ch , 0 , sizeof ch);}void insert(int &u , int loc){if(!u) u = ++cnt;if(loc > len) {d_id[u] = id; return;}insert(ch[u][a[loc]] , loc + 1);}int query(int u , int loc){if(loc > len) return d_id[u];if(ch[u][a[loc] ^ 1]) return query(ch[u][a[loc] ^ 1] , loc + 1);return query(ch[u][a[loc]] , loc + 1);}
}trie;
void change(int x)
{len = 32;for(int i = 1;i <= len;i++) a[i] = x >> len - i & 1;
}
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n) == 1){edgenum = 0;for(int i = 1;i <= n;i++) head[i] = 0;for(int i = 1;i < n;i++){int u = read() + 1 , v = read() + 1 , cost = read();add_edge(u , v , cost);add_edge(v , u , cost);}for(int i = 1;i <= n;i++) d[i] = 0;dfs(1 , 0);trie.clear();for(int i = 1;i <= n;i++) change(d[i]) , id = i , trie.insert(trie.rt , 1);int ans = 0;for(int i = 1;i <= n;i++) change(d[i]) , ans = max(ans , d[trie.query(trie.rt , 1)] ^ d[i]);printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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