Frenet和笛卡尔坐标系互转

Frenet坐标系在无人驾驶领域被普遍使用，特别是在城市、高速等道路交通环境下无人驾驶的路径规划系统中。Frenet坐标系使用参考线的切线向量和法线向量建立坐标系。相比笛卡尔坐标系，Frenet坐标系简化了路径规划问题。

参考论文：Moritz Werling经典的《Optimal trajectory generation for dynamic street scenarios in a Frenét Frame》

公式的推导主要有2种多种：
a.通过向量关系进行推导. 可以参考：Cartesian 坐标系与Frenet坐标系的转换
b. 通过运动学分析推导。可以参考：知乎：信的札

本文主要是对b中公式推导的完善和补充

注意：下面公式中 （点 s）和 s’在这里表示的是一个意思。 theda 和后面的dlta theta 也是同一个意思。

首先，求s:

由：

可得：

注意上式本是对dt求导，怎么会变成对ds求导了呢？
因为 d / dt = d / ds * ds /dt

因为：

且：

其实上式前面已经推导过了，这里的推导没有前面的直观。
所以：

同时，上式左右移项可得：

补充对kx的求导过程：

参考文献：

Apollo项目坐标系研究
Frenet坐标系与Cartesian坐标系互转

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