定积分求导例题_定积分典型例题
定积分典型例题
例１
求、
分析
将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被
积函数难以想到
,
可采取如下方法
:
先对区间等分写出积分与
,
再与所求极限相比较来找出被
积函数与积分上下限、
解
将区间等分
,
则每个小区间长为
,
然后把得一个因子乘入与式中各项
.
于就是将所求
极限转化为求定积分。即
==.
例
2
＝
_
＿＿
__
＿
__
＿
.
解法
1
由定积分得几何意义知
,
等于上半圆周
()
与轴所围成得图形得面积。故
=
.
解法
2
本题也可直接用换元法求解
.
令
=(),
则
=
===
例
3
比较
,,
、
分析
对于定积分得大小比较
,
可以先算出定积分得值再比较大小
,
而在无法求出积分值
时则只能利用定积分得性质通过比较被积函数之间得大小来确定积分值得大小、
解法
1
在上
,
有、而令
,
则、当时
,,
在上单调递增
,
从而
,
可知在上
,
有
.
又
,
从而有
.
解法
2
在上
,
有
.
由泰勒中值定理得。注意到
.
因此
。
例
4
估计定积分得值、
分析
要估计定积分得值
,
关键在于确定被积函数在积分区间上得最大值与最小值。
解
设
,
因为
,
令
,
求得驻点
,
而
, , ,
故
,
从而
,
所以
、
例
5
设
,
在上连续
,
且
,.
求
.
解
由于在上连续
,
则在上有最大值与最小值。由知
,
。又
,
则
。
由于
,
故
=.
例
6
求
,
为自然数
.
分析
这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难
,
解决此类问题得常用方法就是
利用积分中值定理与夹逼准则
.
解法１
利用积分中值定理
设
,
显然在上连续
,
由积分中值定理得
,
,
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