直观理解Hilbert空间是什么？

什么是赋范线性空间、内积空间，度量空间，希尔伯特空间？现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来，变成同一个问题，当然这样的坏处就是描述起来比较抽象，很多人就难以理解了。

既然是研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合，必须给集合赋予一些“结构”或工具。

从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。

线性空间：

对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。

直观的例子：

赋犯线性空间：

但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。

几种常见的范数：

引入内积：

但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。

由内积就可以得到向量之间的角度：

因为有度量/norm，所以可以在度量（norm）空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。

总结

在数学中，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。