一、介绍 差分进化算法是模拟自然界生物种群以“优胜劣汰，适者生存”为原则的进化发展规律而形成的一种随机启发式搜索算法。其保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码，基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，比遗传算法更简单。同时，差分进化算法独特的记忆能力使其可以动态的跟踪当前的搜索情况，及时调整搜索测量，因此具有较强的全局收敛能力。 目前为止，差分进化算法已经成为一种求解非线性，不可微，多极值和高维复杂函数的一种极其有效的方法。 在优化设计中，差分进化算法与传统的算法相比，具有以下特点： 1.差分进化算法从一个群体即多个点而不是从一个点开始搜索，这也是算法能够以较大的概率找到整体最优解的原因。 2.算法的进化准则是基于适应性信息的，不需要其他的辅助性信息，如要求函数可导，连续等。 3. 差分进化算法具有内在的并行性，适用于大规模并行分布处理，减小时间成本开销。 但缺点为： 1.算法后期个体之间的差异性减小，收敛速度慢，易陷入局部最优。 2.没有利用个体的先验知识，可能较多的迭代次数才能收敛到全局最优 算法框架：  (1)群体初始化 在n维空间里随机产生满足约束条件的M个个体

x

i

j

(

0

)

=

x

i

j

m

i

n

+

(

x

i

j

m

a

x

−

x

i

j

m

i

n

)

∗

r

a

n

d

(

0

,

1

)

x_{ij}(0)=x_{ij_{min}}+(x_{ij_{max}}-x_{ij_{min}})*rand(0,1)

xij(0)=xijmin+(xijmax−xijmin)∗rand(0,1) 其中，

x

i

j

m

a

x

,

x

i

j

m

i

n

x_{ij_{max}},x_{ij_{min}}

xijmax,xijmin表示第

j

j

j个染色体的上下界。 (2) 变异 从群体中随机选择三个个体

x

p

1

,

x

p

2

,

x

p

3

x_{p1},x_{p2},x_{p3}

xp1,xp2,xp3且要求

i

≠

p

1

≠

p

2

≠

p

3

i\neq p1\neq p2\neq p3

i̸=p1̸=p2̸=p3,则：

h

i

j

(

t

+

1

)

=

x

p

1

j

(

t

)

+

F

∗

(

x

p

2

j

(

t

)

−

x

p

3

j

(

t

)

)

h_{ij}(t+1)=x_{p1j}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t))

hij(t+1)=xp1j(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t)) 如果没有局部优化的问题，变异操作为：

h

i

j

(

t

+

1

)

=

x

b

j

(

t

)

+

F

∗

(

x

p

2

j

(

t

)

−

x

p

3

j

(

t

)

)

h_{ij}(t+1)=x_{bj}(t)+F*(x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t))

hij(t+1)=xbj(t)+F∗(xp2j(t)−xp3j(t)) 其中，

x

p

2

j

(

t

)

−

x

p

3

j

(

t

)

x_{p2j}(t)-x_{p3j}(t)

xp2j(t)−xp3j(t)为差异化向量，是差分进化算法的关键；F为变异因子；P1，P2,P3为随机整数，表示个体在种群中的序号；

x

b

j

x_{bj}

xbj是当前种群中最好的个体，这一步借鉴了当前种群中最好的个体信息，可以大大加快收敛速度 (3) 交叉 交叉操作可以增加群体的多样性

v

i

j

(

t

+

1

)

=

{

h

i

j

(

t

+

1

)

,

r

a

n

d

  

l

i

j

≤

C

R

h

x

i

j

(

t

)

,

r

a

n

d

  

l

i

j

>

C

R

v_{ij}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} h_{ij}(t+1),rand\; l_{ij} \leq CR\\ hx{ij}(t),rand\; l_{ij}>CR\ \end{array}\right.

vij(t+1)={hij(t+1),randlij≤CRhxij(t),randlij>CR  CR为交叉因子。 (4) 选择操作 为了确定

x

i

(

t

+

1

)

x_i(t+1)

xi(t+1)是否成为下一代的成员，我们需要对目标向量和当前的向量的适应度值进行比较，具体由适应度函数决定：

x

i

(

t

+

1

)

=

{

v

i

(

t

+

1

)

,

f

(

v

i

1

(

t

+

1

)

,

.

.

.

v

i

n

(

t

+

1

)

)

<

f

(

x

i

1

(

t

)

,

.

.

.

,

x

i

n

(

t

)

)

x

i

(

t

+

1

)

,

f

(

v

i

1

(

t

+

1

)

,

.

.

.

v

i

n

(

t

+

1

)

)

≥

f

(

x

i

1

(

t

)

,

.

.

.

,

x

i

n

(

t

)

)

x_{i}(t+1)=\left\{ \begin{array}{c} v_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),...v_{in}(t+1)) <f(x_{i1}(t),...,x_{in}(t))\\ x_{i}(t+1),f(v_{i1}(t+1),...v_{in}(t+1))\geq f(x_{i1}(t),...,x_{in}(t)) \ \end{array}\right.

xi(t+1)={vi(t+1),f(vi1(t+1),...vin(t+1))

f

(

x

,

y

)

=

−

20

e

−

0.2

(

x

2

+

y

2

)

/

2

−

e

(

c

o

s

2

π

x

+

c

o

s

2

π

y

)

/

2

+

e

f(x,y)=-20e^{-0.2\sqrt{({x^2+y^2})/2}}-e^{({cos2\pi x+cos2 \pi y})/2}+e

f(x,y)=−20e−0.2(x2+y2)/2

−e(cos2πx+cos2πy)/2+e为例 三维图为：  可见该函数是多极值的。函数全局最优解为max(max(f(x,y)))=-19.2926，使用一般的算法，极易陷入局部的最优解。 使用差分进化算法，结果为-19.2523,与真实值十分的接近。 适应度函数变化曲线为：  matlab代码为：

% clear all;

% close all;

%

size=50;%群体个数

Codel=2;%所求的变量个数

MinX(1)=-5;%未知量范围

MinX(2)=-5;

MaxX(1)=5;

MaxX(2)=5;

G=200;%迭代次数

F=1.2;%变异因子[0 2]

cr=0.8;%交叉因子[0.6 0.9]

%初始化种群

for i=1:1:Codel

P(:,i)=MinX(i)+(MaxX(i)-MinX(i))*rand(size,1);

end

Best=P(1,:);%全局最优个体 之后不断更新

for i=2:size

if(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fun_DE(Best(1),Best(2)))

Best=P(i,:);

end

end

fi=fun_DE(Best(1),Best(2));%不是C语言 一定要记得给初始变量否则程序跑飞

%%进入循环直到满足精度要求或者迭代次数达到

for Kg=1:1:G

time(Kg)=Kg;

%第二步 变异

for i=1:size

r1=1;r2=1;r3=1;r4=1;%使得个体满足变异条件

while(r1==r2||r1==r3||r1==r4||r2==r3||r2==r4||r3==r4||r1==i||r2==i||r3==i||r4==i)

r1=ceil(size*rand(1));%大小匹配

r2=ceil(size*rand(1));

r3=ceil(size*rand(1));

r4=ceil(size*rand(1));

end

h(i,:)=P(r1,:)+F*(P(r2,:)-P(r3,:));

%h(i,:)=Best+F*(P(r2,:)-P(r3,:));

for j=1:Codel %检查是否越界

if(h(i,j)

h(i,j)=MinX(j);

elseif(h(i,j)>MaxX(j))

h(i,j)=MaxX(j);

end

end

%交叉

for j=1:Codel

temper=rand(1);

if(temper

v(i,j)=h(i,j);

else

v(i,j)=P(i,j);

end

end

%选择

if(fun_DE(v(i,1),v(i,2))>fun_DE(P(i,1),P(i,2)))

P(i,:)=v(i,:);

end

if(fun_DE(P(i,1),P(i,2))>fi)

fi=fun_DE(P(i,1),P(i,2));

Best=P(i,:);

end

end

Best_f(Kg)=fun_DE(P(i,1),P(i,2));

end

fprintf('最优解结果为%f,%f',Best(1),Best(2));

fprintf('最大函数值为%f',Best_f(Kg));

plot(time,Best_f(time));

适应度函数

function J=fun_DE(x1,x2)

% J=100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;

J=-20*exp((0.2*sqrt((x1^2+x2^2)/2)))-exp((cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2))/2)+exp(1);

end