[528]. 按权重随机选择

[528]. 按权重随机选择

题目

算法设计：加权随机取样

题目

传送门：528. 按权重随机选择

输入：
["Solution","pickIndex"]
[[[1]],[]]输出：
[null,0]解释：
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。

算法设计：加权随机取样

加权随机取样，和等概率随机取样不同。

特意制造概率不等的取样，但概率并非任意设定，而是按照定量的权重。

假设我们有数组 w: [1, 2, 3, 4], 那么这个数组的的和为 1 + 2 + 3 + 4 = 10。

对应的我们得到 index {0,1,2,3} 的概率为 {1/10, 2/10, 3/10, 4/10}。‘

数组和为 10，那 rand() % 10 这里产生的数字是 0-9。

我们用数字区间来划分：

0 ：取到 index 0，代表概率 1/10
1，2: 取到 index 1，代表概率 2/10
3，4，5: 取到 index 2，代表概率 3/10
6, 7, 8, 9: 取到 index 3，代表概率 4/10

抽象一下：

0 ~ w[0]-1 ：取到 index 0，代表概率 1/10
w[0] ~ w[0] + w[1] - 1: 取到 index 1，代表概率 2/10
w[0] + w[1] ~ w[0] + w[1] + w[2] - 1: 取到 index 2，代表概率 3/10
w[0] + w[1] + w[2] ~ w[0] + w[1] + w[2] + w[3] -1：取到 index 3，代表概率 4/10
······
w[0] + w[1] + ··· + w[n-2] ~ w[0] + w[1] + ··· + w[n-1] - 1：取到 index n-1，代表概率 n/10

图片，好分析一点：

红色框部分，是前缀和。

前缀和的意思是，从位置 0 到位置 i-1 这个区间内的所有的数字之和。

用以上的例子产生的前缀和表 [1, 3, 6, 10], 可以发现我们用得到的数字调用 upper_bound() 会刚好使其指向我们的 index 位置。

upper_bound()：查找大于目标值的第一个元素。

0 的 upper_bound 会指向 index 0, 因为第一个比 0 大的数是 w[0] = 1;
1, 2 的 upper_bound 会指向 index 1, 因为第一个比 1 或者 2 大的数是 w[1] = 3;
3，4，5 的 upper_bound 会指向 index 2, 因为第一个比 {3, 4, 5} 大的数是 w[2] = 6;
6, 7, 8, 9 的 upper_bound 会指向 index 3, 因为第一个比 {6，7, 8, 9} 大的数是 w[3] = 10;

class Solution {vector<int> presum;   // 保存前缀和
public:Solution(vector<int>& W) {int n = W.size();presum.push_back(W[0]); for(int i = 1; i < n; ++i) presum.push_back(presum.back() + W[i]);// presum.back()：返回数组最后一个元素}int pickIndex() {int weight = rand() % presum.back();return upper_bound(presum.begin(), presum.end(), weight) - presum.begin();// upper_bound()：查找大于目标值的第一个元素// 满足 presum[i] < 5 且 presum[i] 最大}
};

时间复杂度： θ ( l o g n ) \theta(log~n) θ(log n)，二分查找实现的 pickIndex()，Solution 类构造函数是 θ ( n ) \theta(n) θ(n)

空间复杂度： θ ( n ) \theta(n) θ(n)