激活函数：阶跃函数，sigmoid函数，ReLU函数

激活函数

首先看一下感知机的数学表达式，b是被称为偏置的参数，用于控制神经元被激活的容易程度；而w1和w2是表示各个信号的权重的参数，用于控制各个信号的重要性。

引入一个新函数h(x)，将上式改成：

h（x）函数会将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数一般称为激活函数（activation function）。

阶跃函数

阶跃函数，当输入超过0时，输出1，否则输出0。可以像下面这样简单地实现阶跃函数。

def step_function(x):if x > 0:return 1else:return 0

为了便于后面的操作，我们把它修改为支持NumPy数组的实现。

import numpy as npdef step_function(x):y = x > 0return y.astype(np.int_)print(step_function(np.array([-1, 2, 3, -4])))

阶跃函数的图形：

实现如下：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as pltdef step_function(x):return np.array(x > 0, dtype=np.int_)x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = step_function(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()
print(step_function(np.array([-1, 2, 3, -4])))

sigmoid函数

神经网络中经常使用的一个激活函数就是sigmoid函数：

exp(−x)表示e的−x次幂的意思。e是纳皮尔常数2.7182 …。sigmoid函数看上去有些复杂，但它也仅仅是个函数而已。而函数就是给定某个输入后，会返回某个输出的转换器。神经网络中用sigmoid函数作为激活函数，进行信号的转换，转换后的信号被传送给下一个神经元。
sigmoid函数的实现：

def sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))

sigmoid函数图形：

实现如下：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as pltdef sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = sigmoid(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()

sigmoid函数和阶跃函数的比较

首先注意到的是“平滑性”的不同。sigmoid函数是一条平滑的曲线，输出随着输入发生连续性的变化。而阶跃函数以0为界，输出发生急剧性的变化。sigmoid函数的平滑性对神经网络的学习具有重要意义。
另一个不同点是，相对于阶跃函数只能返回0或1，sigmoid函数可以返回0.731 …、0.880 …等实数（这一点和刚才的平滑性有关）。也就是说，感知机中神经元之间流动的是0或1的二元信号，而神经网络中流动的是连续的实数值信号。
接着说一下阶跃函数和sigmoid函数的共同性质。阶跃函数和sigmoid函数虽然在平滑性上有差异，但是如果从宏观视角看，可以发现它们具有相似的形状。实际上，两者的结构均是“输入小时，输出接近0（为0）；随着输入增大，输出向1靠近（变成1）”。也就是说，当输入信号为重要信息时，阶跃函数和sigmoid函数都会输出较大的值；当输入信号为不重要的信息时，两者都输出较小的值。还有一个共同点是，不管输入信号有多小，或者有多大，输出信号的值都在0到1之间。

ReLU函数

到目前为止，我们介绍了作为激活函数的阶跃函数和sigmoid函数。在神经网络发展的历史上，sigmoid函数很早就开始被使用了，而最近则主要使用ReLU（Rectified Linear Unit）函数。ReLU函数在输入大于0时，直接输出该值；在输入小于等于0时，输出0。ReLU函数可以表示为下面的式：

ReLU函数实现也很简单：

def relu(x):return np.maximum(0, x)

ReLU函数图形：
实现如下：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as pltdef relu(x):return np.maximum(0, x)x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = relu(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 6) # 指定y轴的范围
plt.show()