0-1背包问题：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用(体积)是C[i]，价值是W[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

显然这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

我主要针对动态规划方法，关于这个问题的文章网上已经相当的多，不过我想把自己的思路和一点想法写下来，也算对这个问题的一点体会吧。

依次考虑N件物品，对于容量为v的背包在处理第i件物品时获得的最大价值F，显然有如下递推式：

IF     第i件物品的费用(体积)C[i]>v

        THEN 第i件物品必然无法加入背包，F[i][v]=F[i-1][v]

ELSE是否加入第i件物品需考虑加入背包后是否划算，在这里可以认为这个第i件物品优先加入背包，

那么有  F[i][v]=max{F[i-1][v],F[i-1][v-C[i]]+W[i]}

现在来解释一下上面这个最关键的状态转移方程！

当前背包容量为v，即将处理第i件物品。显然有如下两种方案，出现了最优子结构性质：

a.若第i件物品加入背包，装入这前i件物品获得的最大价值F[i][v]，必然等于第i件物品的价值W[i]再加上向容量为v-C[i]的背包装入前i-1件物品这个子问题的最大价值F[i-1][v-C[i]] (先把第i件物品加入背包，然后考虑安排剩余的空间容量)

b.若不加入第i件物品，装入这前i件物品的获得的最大价值F[i][v]，必然等于向容量为v的背包装入前i-1件物品这个子问题获得的最大价值F[i-1][v]

显然，当前问题的最大价值F[i][v]取上面两种方案的较大值！

理解了这个，出代码就简单了。将二维数组F的0行和0列初始化为0然后迭代……

for(i=1;i<=N;i++){
    for(j=1;j<=V;j++){
        if(j>=C[i]){
            temp=F[i-1][j-C[i]]+W[i];
            if(temp>F[i-1][j]) F[i][j]=temp;
            else F[i][j]=F[i-1][j];
        }
        else F[i][j]=F[i-1][j];
    }
}

这个动态规划的时空复杂度都是O(N*V)。

关于这个问题的最终最大价值，很多地方都说应该是F[N][0]...F[N][V]中的最大值而并非F[N][V]。但是我分析了一下迭代过程，做了几组测试后，个人认为最大价值就应该是F[N][V]，但是苦于无法进行严密的推证……

若那位朋友有什么想法或见解希望提出来，大家讨论一下，帮我解决这个问题……

空间复杂度优化

由于每次迭代计算F[i][v]时，需要知道的子问题只是F[i-1][v]和F[i-1][v-C[i]]，即只需要知道前一次的迭代状态序列F[i-1]。那么可以优化空间只使用一个一维数组F[V]不断迭代，将空间复杂度降到O(V)。

状态转移方程：F[v]=max{F[v],F[v-C[i]]+W[i]}

显然，计算F[v]时前一次的迭代值F[v],F[v-C[i]]已知(存在迭代数组F中)。为了不破坏迭代数组中暂存的上一次迭代值，F[v]的计算应该从后向前逆向进行。

for(i=1;i<=N;i++){
    for(j=V;j>=0;j--){
        if(j>=C[i]&&F[j-C[i]]+W[i]>F[j]) 
            F[j]=F[j-C[i]]+W[i];
    }
}

这里的问题和之前一样，任然是F[0]...F[V]与F[V]的问题……

文章可能存在某些问题，还望大家不吝指正！

也希望大家就之前的极大值的问题，提出自己的观点，谢谢啦……