householder变换QR分解QR方法

householder变换

定义

对于任意的模相等的非零n维向量x,y,一定可以找到一个householder矩阵使x变换到y，

即
Hx=y;Hx=y; Hx=y;
且H的定义如下：
H=I−2uuT,uTu=1;H=I-2uu^T,u^Tu=1; H=I−2uuT,uTu=1;
因此，容易验证H是一个正交矩阵，正交矩阵的性质是矩阵的逆等于矩阵的转置，多说一点，正交变换是很稳定的变换，不会改变矩阵的性质；

证明：由于u的模为1，因此可以通过x，y构造u，

即
u=(x−y)∣∣x−y∣∣2u= \frac{(x-y)}{||x-y||_2} u=∣∣x−y∣∣2(x−y)
相应的可以求出H，
H=I−2(x−y)(x−y)T∣∣x−y∣∣22H=I-\frac{2(x-y)(x-y)^T}{||x-y||_2^2} H=I−∣∣x−y∣∣222(x−y)(x−y)T

H

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