用差分方程写三角形的重心

给出三角形的三个顶点的坐标，用差分方程求其重心的坐标。具体题目描述如下图所示。

为了求三角形的重心，我们知道，三角形的重心坐标在中线交点，也就是中线的13\frac{1}{3}31位置处，不妨设三角形的三个坐标分别为(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)，(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)，(x3,y3)(x_3,y_3)(x3,y3)，则重心的横坐标可以表示为
xc=x1+x22+13×(x3−x1+x22)=13(x1+x2+x3),x_c=\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{1}{3} \times (x_3-\frac{x_1+x_2}{2})=\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3), xc=2x1+x2+31×(x3−2x1+x2)=31(x1+x2+x3),
同理，重心的纵坐标为yc=13(y1+y2+y3)y_c=\frac{1}{3}(y_1+y_2+y_3)yc=31(y1+y2+y3)。考虑到重心与前序三角形顶点构成的序列关系，可以推出重心迭代的差分方程为
xn+3=13(xn+xn+1+xn+2),x_{n+3}=\frac{1}{3}(x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}),xn+3=31(xn+xn+1+xn+2),
yn+3=13(yn+yn+1+yn+2).y_{n+3}=\frac{1}{3}(y_{n}+y_{n+1}+y_{n+2}).yn+3=31(yn+yn+1+yn+2).

于是，将迭代的代码表示如下，并显示画图的结果。

X、Y是初始坐标，n是迭代次数，直接在代码块里面修改就可以了，点击运行直接出结果。

% 重心坐标的原理，设已知三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),那么重心坐标为
% x=(x1+x2+x3)/3, y=(y1+y2+y3)/3,由此可以推断出重心坐标的差分公式为
% x(n+3)=(x(n)+x(n+1)+x(n+2))/3;
% y(n+3)=(y(n)+y(n+1)+y(n+2))/3;X= [1 2 3];
Y= [4 7 6];
plot([X X(1)],[Y Y(1)]), hold on
S = Centre(X, Y, 8)%% 主程序如下
function S = Centre(X, Y, n)
% X, Y为初始三个点的横纵坐标，n为需要求解的迭代次数，S保存所有重心坐标
x(1:3)=X;
y(1:3)=Y;
S=[];
for i=1:nx(i+3)=(x(i+2)+x(i+1)+x(i))/3;y(i+3)=(y(i+2)+y(i+1)+y(i))/3;S=[S;[x(i+3) y(i+3)]];line([x(i+3) x(i+2)],[y(i+3) y(i+2)]); hold online([x(i+3) x(i+1)],[y(i+3) y(i+1)]); hold on
end
end

当迭代8次时，输出的结果如下图。

不同坐标分布的规律探寻：

close all
clear all
clc
% 重心坐标的原理，设已知三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),那么重心坐标为
% x=(x1+x2+x3)/3, y=(y1+y2+y3)/3,由此可以推断出重心坐标的差分公式为
% x(n+3)=(x(n)+x(n+1)+x(n+2))/3;
% y(n+3)=(y(n)+y(n+1)+y(n+2))/3;
tica= [4 0 5];
b= [3 0 0];
for i=1:3for j=1:2X(1)=a(i);   Y(1)=b(i);k = i+j-3*(i+j>3);X(2)=a(k);   Y(2)=b(k);k = k+j-3*(k+j>3);X(3)=a(k);   Y(3)=b(k);subplot(2,3,i+(j-1)*3)plot([X X(1)],[Y Y(1)]), hold onS = Centre(X, Y, 8);end
end
toc
%% 主程序如下
function S = Centre(X, Y, n)
% X, Y为初始三个点的横纵坐标，n为需要求解的迭代次数，S保存所有重心坐标
x(1:3)=X;
y(1:3)=Y;
S=[];
for i=1:nx(i+3)=(x(i+2)+x(i+1)+x(i))/3;y(i+3)=(y(i+2)+y(i+1)+y(i))/3;S=[S;[x(i+3) y(i+3)]];line([x(i+3) x(i+2)],[y(i+3) y(i+2)]); hold online([x(i+3) x(i+1)],[y(i+3) y(i+1)]); hold on
end
end

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