【数学分析】自然对数的底 e

2024-05-03 03:23:20

$s_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$

$e_n=(1+\frac{1}{n})^n$

1.考虑 $s^n$ 是否收敛 $n!\geq 2^{n-1}$

$s_n\leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3$

所以收敛

2.考虑 $e^n$

$e_n=(1+\frac{1}{n})^n$ 二项式展开，再将 $\frac{1}{n}$ 乘进去

$e_n=(1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})\leq s_n< 3$

利用二项式的展开证明 $e^n$ 单调

$e_{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots(1-\frac{n-1}{n+1})> e_n$

所以收敛

3.考虑 $s^n$ 与 $e^n$ 的关系

$\lim_{n\to\infty} s_n=s$ $\lim_{n\to\infty} e_n=e$

$e_n\leq s_n\Rightarrow e\leq s$

若给定m<n

$e_n\geq1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{m!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{m-1}{n})$

$n\rightarrow \infty$ $e\geq 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{m!}\geq s$

所以 $\lim_{n\to\infty} s_n=\lim_{n\to\infty} e_n=e$

4. e可以近似看成 $2.71828$

$0< e-s_n\leq \frac{1}{n!n}(1)$

5. e 是无理数

证明：

假设e是有理数，利用 (1)，得到一个小数的范围，而代入后是整数与整数相减，显然不是小数，矛盾。所以是无理数。

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