Python数据分析 - 机器学习笔记：第一章数据分析

前言：本文是学习网易微专业的《python全栈工程师》中的《数据分析 - 机器学习工程师》专题的课程笔记，欢迎学习交流。

一、课程目标

掌握矩阵的创建方法
掌握矢量运算的基本方法

二、详情解读

2.1.掌握矩阵的创建方法

2.1.1.区分

矩阵：矩阵是numpy库的一种对象
矩阵 ≠\neq= 二维数组

1.创建矩阵：

方法一：

import numpy as np
A = np.mat([1, 2, 3])

运行结果：

矩阵也有shape属性

A.shape

运行结果：

方法二：

B = np.mat('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')  # 方阵

运行结果：

方法三：

# 数组作为参数，创建矩阵
M1 = np.mat(np.eye(3))
M2 = 2 * M1

运行结果：

方法四：矩阵的合并

np.bmat('M1 M2; M2 M1')

运行结果：

2.矩阵间的乘法：

先初始化两个数组：

a = np.arange(1, 10).reshape((3, 3))
b = np.array([[1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 0]])
print(a)
print('-'*10)
print(b)

运行结果：

两个数组用“*”相乘，对应元素相乘

a * b

运行结果：

两个矩阵用“*”相乘


A = np.mat(a)
B = np.mat(b)
A *　B

运行结果：

原理图解：

下面的计算与上述等价：

np.dot(a, b)

运行结果：

矩阵的转置：

A.T

运行结果：

2.2.矢量运算

2.2.1.标量积

标量积（英语：Scalar Product）是两个矢量相乘的一种方式和结果。
也被称为数量积、点积（英语：Dot Product）、内积（英语：Inner Product）。
按照这种方式两个矢量相乘的结果是一个标量。

代数理解：
假设两个矢量a⃗=[a1,a2,a3,...an]\vec{a} = [a_1, a_2, a_3, ... a_n]a=[a1,a2,a3,...an] 和b⃗=[b1,b2,b3,....bn]\vec{b} = [b_1, b_2, b_3, .... b_n]b=[b1,b2,b3,....bn]，它们的点积定义为：
a⃗⋅b⃗=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^na_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n a⋅b=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
或者a⃗⋅b⃗=∣a⃗b⃗T∣\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}\vec{b}^T|a⋅b=∣abT∣
其中b⃗T\vec{b}^TbT是向量b⃗\vec{b}b的转置，而∣a⃗b⃗T∣|\vec{a}\vec{b}^T|∣abT∣是a⃗b⃗T\vec{a}\vec{b}^TabT的行列式。

几何理解：
以平面坐标系中的两个矢量为例，两个矢量a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b，它们的夹角是θ\thetaθ，则
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

示例：
计算函数：np.dot()

c = np.array([[1, 2], [3, 4]])
d = np.array([[5, 6], [7, 8]])
np.dot(c, d)

运行结果：

对比另外一个：np.inner()

np.inner(c, d)

运行结果：

对于二维数组，1轴是最后轴（last axes），np.inner()即是将两个数组1轴上的元素分别对应相乘并求和，并得到最终的数组。

2.2.2.矢量积

矢量积（英语：Vector Product），又可以称为叉积（英语：Cross Product）或外积（英语：Outer Product）
其运算结果是一个矢量，并且矢量方向与原来两个矢量所构成的平面垂直

代数理解：
我们以三维坐标系中的两个矢量为例，即a⃗=axi⃗+ayj⃗+azk⃗\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}a=axi+ayj+azk和b⃗=bxi⃗+byj⃗+bzk⃗\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}b=bxi+byj+bzk，则：
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣=(aybz−azby)i⃗+(azbx−axbz)j⃗+(axby−aybx)k⃗\vec{a}\times\vec{b} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ \end{vmatrix} = (a_yb_z - a_zb_y)\vec{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\vec{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k

代数理解：
还是以平面坐标系中的两个矢量为例，两个矢量a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b，它们的夹角是θ\thetaθ，如果对这两个矢量计算矢量积，最后结果的大小等于这两个矢量为相邻两边的平等四边形的面积，即：
a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sinθ\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|sin\thetaa×b=∣a∣∣b∣sinθ

numpy中计算矢量积：np.cross()

v = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([9, 8, 7])
np.cross(v, b)

运行结果：

计算过程：
∣ijk123987∣=(2×7−3×8)i⃗+(1×8−2×9)j⃗=−10i⃗+20j⃗−10k⃗\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 9 & 8 & 7\\ \end{vmatrix} = (2 \times 7 - 3 \times 8)\vec{i} + (1\times8 - 2\times 9)\vec{j} = -10\vec{i} + 20\vec{j} - 10\vec{k}∣∣∣∣∣∣i19j28k37∣∣∣∣∣∣=(2×7−3×8)i+(1×8−2×9)j=−10i+20j−10k
np.cross()的参数不仅仅可以是一维数组（矢量），还可以是多维。

三、课程小结

01 矩阵乘法
02 标量积、矢量积