欧拉函数（详解）-数论

欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
欧拉函数还有这样的性质：
设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
那么如何变成实现欧拉函数呢？下面通过两种不同的方法来实现。第一种方法是直接根据定义来实现，同时第一种方法也是第二种筛法的基础，当好好理解。
可以得到关于欧拉函数的递推关系：
假设素数p能整除n，那么
如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

由对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2q2…Pn^qn.
φ(N)=N(1-1/P1)(1-1/P2)…*(1-1/Pn).*
可以写出以下代码：

直观代码：
int euler(int n){ //返回euler(n)   int res=n,a=n;  for(int i=2;i*i<=a;i++){  // i * i <=a ,因为在分解的时候 a也变小，所以范围也跟着变小while(a%i==0){  //因为 1-1/p = (p-1)/p .res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   a/=i;  }  }  if(a>1) res=res/a*(a-1);  return res;
}

但是当求一个区间内的时候上面的方法就不行了，那么我们可以类比以下求素数的优化方法，可不可以用筛法呢？答案是可以！

比如求10以内所有数的φ值：设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算

代码：

筛法求欧拉函数：
//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){ euler[1]=1;for(int i=2;i<Max;i++)euler[i]=i;for(int i=2;i<Max;i++)if(euler[i]==i) //所以这里i这能是素数for(int j=i;j<Max;j+=i) //j = j+i，那么是i的倍数的数都会改变                           euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}

也可以在筛法中进行初始化

代码：void Euler(){for (int i = 2; i < N; i++) {if (!phi[i])for (int j = i; j < N; j += i) { if (!phi[j])phi[j] = j; phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);}}}

欧拉函数（详解）-数论相关推荐

【4.3 欧拉函数详解】
更好的阅读体验\color{red}{更好的阅读体验}更好的阅读体验目录 4.3.1 公式法求欧拉函数 4.3.2 筛法求欧拉函数概念 1∼N1∼N1∼N中与NNN互质的数的个数被称为欧拉函数,记 ...
详解c语言欧拉函数,【基础数论】十分钟学会计算欧拉函数
欧拉函数欢迎各位读者指出不足,谢谢~ 首先我们要知道欧拉函数是个什么东东? 废话不多说~欧拉函数就是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) . 欧拉函数的通式: ...
计算机方法欧拉,欧拉方法详解
高中牛顿力学回顾有一个具有一定速度在运动的物体: 当我们需要对其进行模拟时,自然会想起高中的位移 = 速度 * 时间,即: $$s = v * t$$ 而当该物体具有恒定加速度(恒力)时: 我们可 ...
数论讨伐！欧拉函数！
[欧拉函数] 任务开始. 什么是欧拉函数?我们又怎么求呢??? 此次任务的主要怪物:欧拉函数 (1)欧拉函数定义欧拉函数嘛,当然是我们著名的莱昂哈德·欧拉发明的啦~那么他是怎么定义介个函数滴? 咳咳 ...
数论 - 分解质因数+欧拉函数 - Relatives POJ - 2407
数论 - 分解质因数+欧拉函数文章目录数论 - 分解质因数+欧拉函数一.分解质因数二.欧拉函数三.模板: Relatives POJ - 2407 一.分解质因数由算术基本定理 ...
陕西师范大学第七届程序设计竞赛网络同步赛 J 黑猫的小老弟【数论/法拉数列/欧拉函数】...
链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/121/J 来源:牛客网题目描述大家知道,黑猫有很多的迷弟迷妹,当然也有相亲相爱的基友,这其中就有一些二五仔是黑猫的 ...
中gcd函数_欧拉函数φ(n)的计算及欧拉定理
1 欧拉函数定义在数论中,对正整数n,欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为φ函数(由高斯所命名)或是欧拉总计函数(totient fun ...
欧拉φ函数和欧拉降幂公式
欧拉φ函数:在数论中,对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为φ函数.欧拉商数等.φ(1)=1 C++实现: int GetEuler(i ...
【欧拉函数】欧拉函数计算及打表
文章目录一.欧拉函数简介二.欧拉函数计算三.欧拉函数值打表四.练手题目一.欧拉函数简介在数论中,对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目(因此φ(1)=1).此函数以 ...
第二十六章数论——欧拉函数（详解与证明）
第二十六章数论--欧拉函数(详解与证明) 欧拉函数 1.互质 2.欧拉函数的定义 3.欧拉函数的公式 4.欧拉函数的证明 5.欧拉函数的使用 (1)问题一: 思路代码 (2)问题二: 思路 cas ...

欧拉函数（详解）-数论

欧拉函数（详解）-数论相关推荐

最新文章

热门文章