12小球找坏球的问题

这是很久以前做过的一个题目，也是颇费了一番脑筋，当时好像想了好长时间。
题目如下：
12个小球，有一个是坏球，即重量不合格；有一个天平，请用最多三次将次品找出。
方法如下：
分成三组，每组四个，即 AAAA，BBBB,CCCC。
将AAAA和BBBB 分别放到天平两端，则结果可能如下：
1.1 天平平衡
1.2 天平不平衡
分别讨论
1.1
平衡说明AB两组都是好球，坏球在C组中。
1.1.1 取AAA 和CCC 放到天平两端，则
1.1.1.1 平衡，说明天平上的球都是好球，剩下的C球是坏球；
1.1.1.2 不平衡说明 CCC 中因坏球，此时又有两种情况
1.1.1.2.1 A端轻C段重，因为AAA是好球，所以坏球必然是重球，则
1.1.1.2.1.1 将CCC中的CC 放到天平两端，则出现两种可能
1.1.1.2.1.1.1 平衡则 3C球中不在天平的上球是坏球；
1.1.1.2.1.1.2 不平衡，则下沉端的C球是坏球（根据1.1.1.2.1）
1.1.1.2.2 A端重C段轻，参考上面分析，不在赘述。
…

1.2 天平不平衡，则 CCCC 是好球
1.2.1 记录天平平衡状，两种情况
1.2.1.1 A重B轻
1.2.1.2 A轻B重
分别讨论
1.2.1.1 A重B轻
拿下BBB 放到一旁 ,取AAA 放到天平B端，取CCC放到天平A端，此时天平上是 ACCC， BAAA
此时出现两种情况
1.2.1.1.1天平平衡
1.2.1.1.2 天平失衡
分别讨论
1.2.1.1.1 平衡，说明天平上的球都是好球，即 ACCC 和 BAAA 都是好球，即AAAA是好球，则根据1.2.1.1，坏球是轻球，则 BBB中的轻球为坏球，根据前面的结论（参考 1.1.1.2.1），一次可以找出。
1.2.1.1.2 失衡，两种情况：
1.2.1.1.2.1 方向没有改变，说明AAA和CCC是等价的（不影响天平方向），则AAA是好球，则天平上的ACCC 中A 和CCCB的B 有一个是坏球，因为知道好球，将A 或B和C比较，一次就可以找出坏球。
1.2.1.1.2.2 方向发生改变，说明CCC和AAA 不等价，即AAA中有坏球，并且根据方向变化，可知坏球轻重；三球知轻重的情况下，一次即可找出坏球。
1.2.1.2 A轻B重分析同上，不再讨论。

maraSun BJFWDQ
是记。

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