数据离散程度的指标——标准差

2024-06-17 16:31:40

标准差（Standard Deviation）

标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statisticaldispersion）上的测量。反应组内个体间的离散程度。

标准差的计算（Calculation of standard deviation）

标准差的计算公式为：
σ=1N∑i=1N(xi−μ)2\sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}} σ=N1i=1∑N(xi−μ)2

举个例子：农场种植的某种水稻，连续6年的年平均产量如下（单位：500g）：

品种	第一年	第二年	第三年	第四年	第五年	第六年
产量	900	920	900	850	910	920

第一步：计算均值
用希腊字母μ表示水稻产量的均值
μ=x1+x2+x3+x4+x5+x66\mu=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}μ=6x1+x2+x3+x4+x5+x6
第二步：计算每年产量与均值的差，并将结果平方
(x1−μ1)2\left(x_{1}-\mu_{1}\right)^{2}(x1−μ1)2
(x2−μ)2\left(x_{2}-\mu\right)^{2}(x2−μ)2
(x3−μ1)2\left(x_{3}-\mu_{1}\right)^{2}(x3−μ1)2
(x4−μ1)2\left(x_{4}-\mu_{1}\right)^{2}(x4−μ1)2
(x5−μ1)2\left(x_{5}-\mu_{1}\right)^{2}(x5−μ1)2
(x6−μ1)2\left(x_{6}-\mu_{1}\right)^{2}(x6−μ1)2
第三步：计算将差值平方后的均值
1N[(x1−μ)2+(x2−μ)2+(x3−μ)2+(x4−μ)2+(x5−μ)2+(x6−μ)2]\frac{1}{N}\left[\left(x_{1}-\mu\right)^{2}+\left(x_{2}-\mu\right)^{2}+\left(x_{3}-\mu\right)^{2}+\left(x_{4}-\mu\right)^{2}+\left(x_{5}-\mu\right)^{2}+\left(x_{6}-\mu\right)^{2}\right]N1[(x1−μ)2+(x2−μ)2+(x3−μ)2+(x4−μ)2+(x5−μ)2+(x6−μ)2]
第四步：将结果开平方
1N[(x1−μ)2+(x2−μ)2+(x3−μ)2+(x4−μ)2+(x5−μ)2+(x6−μ)2]\sqrt{\frac{1}{N}\left[\left(x_{1}-\mu\right)^{2}+\left(x_{2}-\mu\right)^{2}+\left(x_{3}-\mu\right)^{2}+\left(x_{4}-\mu\right)^{2}+\left(x_{5}-\mu\right)^{2}+\left(x_{6}-\mu\right)^{2}\right]}N1[(x1−μ)2+(x2−μ)2+(x3−μ)2+(x4−μ)2+(x5−μ)2+(x6−μ)2]

DONE!

且慢…还有

样本标准差

有时候我们的数据只是庞大的数据中心的一个样本
这种情况下仍可以计算标准差。
但我们用样本数据来对整个数据的情况进行估算，对样本数据的标准差计算公式做一些调整：
s=1N−1∑i=1N(xi−xˉ)2s=\sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} s=N−11i=1∑N(xi−xˉ)2
最重要的变化是将最上面的公式中的N换成了N-1，N-1的使用被称为“贝塞尔校正”。

Why Take a Sample?
为什么要抽样计算？
Mostly because it is easier and cheaper.
主要是因为抽样计算的方式比较简单，成本更低一些。

但是当我们做采样统计的时候，我们就会损失一些数据的精确性。

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