激活函数(sigmoid、tanh、ReLU、softmax)

文章目录

1.1、sigmoid函数
1.2、tanh函数
1.3、ReLU函数
1.4、softmax函数

激活函数在神经网络中的作用有很多，主要作用是给神经网络提供非线性建模能力。如果没有激活函数，那么再多层的神经网络也只能处理线性可分问题。常用的激活函数有 sigmoid、 tanh、 relu、 softmax等。

1.1、sigmoid函数

sigmoid函数将输入变换为(0,1)上的输出。它将范围(-inf,inf)中的任意输入压缩到区间(0,1)中的某个值：
sigmoid(x)=11+exp(−x)sigmoid(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}sigmoid(x)=1+exp(−x)1
sigmoid函数是⼀个⾃然的选择，因为它是⼀个平滑的、可微的阈值单元近似。当我们想要将输出视作⼆元分类问题的概率时， sigmoid仍然被⼴泛⽤作输出单元上的激活函数（你可以将sigmoid视为softmax的特例）。然而， sigmoid在隐藏层中已经较少使⽤，它在⼤部分时候被更简单、更容易训练的ReLU所取代。下面为sigmoid函数的图像表示，当输入接近0时，sigmoid更接近线形变换。

import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inlinex=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
sigmoid=torch.nn.Sigmoid()
y=sigmoid(x)d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','sigmoid(x)',figsize=(5,2.5))

sigmoid函数的导数为下面的公示：
ddxsigmoid(x)=exp(−x)(1+exp(−x))2=sigmoid(x)(1−sigmoid(x))\frac{d}{dx}sigmoid(x)=\frac{exp(-x)}{(1+exp(-x))^2}=sigmoid(x)(1-sigmoid(x))dxdsigmoid(x)=(1+exp(−x))2exp(−x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x))
sigmoid函数的导数图像如下所示。当输入值为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；而输入在任一方向上越远离0点时，导数越接近0。

#清除以前的梯度
#retain_graph如果设置为False，计算图中的中间变量在计算完后就会被释放。
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of sigmoid')

1.2、tanh函数

与sigmoid函数类似，tanh函数也能将其输入压缩转换到区间(-1,1)上，tanh函数的公式如下：
tanh(x)=1−exp(−2x)1+exp(−2x)tanh(x)=\frac{1-exp(-2x)}{1+exp(-2x)}tanh(x)=1+exp(−2x)1−exp(−2x)
tanh函数的图像如下所示，当输入在0附近时，tanh函数接近线形变换。函数的形状类似于sigmoid函数，不同的是tanh函数关于坐标系原点中心对称。

import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inlinex=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
tanh=torch.nn.Tanh()
y=tanh(x)d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','tanh(x)',figsize=(5,2.5))

tanh函数的导数是：
ddxtanh(x)=1−tanh2(x)\frac{d}{dx}tanh(x)=1-tanh^2(x)dxdtanh(x)=1−tanh2(x)
tanh函数的导数如下，当输入接近0时，tanh函数的导数接近最大值1。与sigmoid函数图像中看到的类似，输入在任一方向上远离0点，导数越接近0。

y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of tanh',figsize=(5,2.5))

1.3、ReLU函数

线性整流单元（ReLU），ReLU提供了一种非常简单的非线性变换。给定元素xxx，ReLU函数被定义为该元素与0的最大值。
ReLU(x)=max(x,0)ReLU(x)=max(x,0)ReLU(x)=max(x,0)
ReLU函数通过将相应的活性值设为0，仅保留正元素并丢弃所有负元素。如下为ReLU函数的曲线图。

import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inlinex=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
relu=torch.nn.ReLU()
y=relu(x)d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','relu',figsize=(5,2.5))

当输入为负时，reLU函数的导数为0，而当输入为正时，ReLU函数的导数为1。当输入值等于0时，ReLU函数不可导。如下为ReLU函数的导数：
f′(x)={1,x≥0 0,x<0f^{'}(x) = \begin{cases} 1, & \text{ x≥0 } \\ 0, & \text{x<0} \end{cases}f′(x)={1,0, x≥0 x<0

#retain_graph如果设置为False，计算图中的中间变量在计算完后就会被释放。
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of relu',figsize=(5,2.5))

ReLU函数的求导表现的很好：要么让参数消失，要么让参数通过。ReLU减轻了神经网络的梯度消失问题。ReLU函数有很多变体，如LeakyReLU，pReLU等。

1.4、softmax函数

在二分类任务时，经常使用sigmoid激活函数。而在处理多分类问题的时候，需要使用softmax函数。它的输出有两条规则。

每一项的区间范围的(0,1)
所有项相加的和为1.

假设有一个数组V，ViV_iVi代表V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值的计算公式为：
Si=ei∑jejS_i=\frac{e^i}{\sum_j e^j}Si=∑jejei

下图为更为详细的计算过程：

如上图所示，输入的数组为[3,1,-3]。那么每项的计算过程为：

当输入为3时，计算公式为e3e3+e1+e−3≈0.88\frac{e^3}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0.88e3+e1+e−3e3≈0.88

当输入为1时，计算公式为e1e3+e1+e−3≈0.12\frac{e^1}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0.12e3+e1+e−3e1≈0.12

当输入为-3时，计算公式为e−3e3+e1+e−3≈0\frac{e^{-3}}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0e3+e1+e−3e−3≈0

下面使用代码实现这一计算过程。

x=torch.Tensor([3.,1.,-3.])
softmax=torch.nn.Softmax(dim=0)
y=softmax(x)
print(y)

tensor([0.8789, 0.1189, 0.0022])

那么在搭建神经网络的时候，应该如何选择激活函数？

如果搭建的神经网络的层数不多的时候，选择sigmoid、tanh、relu都可以，如果搭建的网络层数较多的时候，选择不当不当会造成梯度消失的问题，此时一般不宜选择sigmoid、tanh激活函数，最好选择relu激活函数。
在二分类问题中，网络的最后一层适合使用sigmoid激活函数；而多分类任务中，网络的最后一层使用softmax激活函数。