随机算法之最小割问题

1. 问题定义

图G=(V, E)成为多重图，如果顶点对之间允许出现多条边。多重图G=(V, E)的一个割是边集E的一个子集C，它使得Gc=(V, E-C)至少存在两个连通分支。边的条数达到最小值的割称为最小割。最小割问题要求输出多重图G=(V, E)的最小割。

2. 随机算法

输入：多重图G=(V, E)

输出：G的一个最小割C

1. G' = G;

2. While G'中顶点个数多于2 Do;

3. 从G'中任选一条边(u, v)，并且收缩边(u, v); // 收缩的意思是把与顶点u、v关联的边收缩到新的节点上

4. G'中剩下的两个顶点对应G顶点子集S 和 V - S;

5. 输出C = {(u, v) | u∈S, v∈V-S, (u,v)∈E}.

3.算法性能的分析

该算法的时间复杂度为O(n^2)。由于每收缩一次，G'就可以减少一个顶点,所以第2步~第3步的while循环执行n-2遍，每一次收缩边(u,v)时需要O(n)，因此第2步~第3步总时间复杂度为O(n^2)。第5步计算C也需要O(n^2)。研究表明，该算法求解出最小割的概率大于2/n^2(n为顶点的个数)。

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