【Bellman-Ford算法（求解最短路径约束问题）】787. K 站中转内最便宜的航班—

【Bellman-Ford算法（求解最短路径约束问题）】787. K 站中转内最便宜的航班——算法分析

787. K 站中转内最便宜的航班

有 n 个城市通过一些航班连接。给你一个数组 flights ，其中 flights[i] = [fromi, toi, pricei]
，表示该航班都从城市 fromi 开始，以价格 pricei 抵达 toi。

现在给定所有的城市和航班，以及出发城市 src 和目的地 dst，你的任务是找到出一条最多经过 k 站中转的路线，使得从 src 到 dst
的价格最便宜，并返回该价格。如果不存在这样的路线，则输出 -1。

示例 1：

输入: n = 3, edges = [[0,1,100],[1,2,100],[0,2,500]] src = 0, dst = 2,
k = 1 输出: 200 解释: 城市航班图如下

从城市 0 到城市 2 在 1 站中转以内的最便宜价格是 200，如图中红色所示。

在学习的最短路径算法中，除了迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法之外，还有其他的算法，Bellman-Ford算法就是其中的一种，该算法解决了迪杰斯特拉算法中无法求解负权图的问题，同时对于最短路径中的约束问题也能够求解。

该算法实质上是动态规划算法，具体的算法过程如下：

给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为无穷大,Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) <Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) <Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

对于这道题目，我们可以使用该算法的思想：

我们用 f [ t ] [ i ] f[t][i] f[t][i] 表示通过恰好 tt 次航班，从出发城市 s r c src src 到达城市 i i i 需要的最小花费。在进行状态转移时，我们可以枚举最后一次航班的起点 j j j，即：

其中 ( j , i ) ∈ f l i g h t s (j, i)∈flights (j,i)∈flights 表示在给定的航班数组 f l i g h t s flights flights 中存在从城市 j j j 出发到达城市 i i i 的航班， c o s t ( j , i ) cost(j,i) cost(j,i) 表示该航班的花费。该状态转移方程的意义在于，枚举最后一次航班的起点 j j j，那么前 t − 1 t-1 t−1 次航班的最小花费为 f [ t − 1 ] [ j ] f[t−1][j] f[t−1][j] 加上最后一次航班的花费 c o s t ( j , i ) cost(j,i) cost(j,i) 中的最小值，即为 f [ t ] [ i ] f[t][i] f[t][i]。

由于我们最多只能中转 k k k 次，也就是最多搭乘 k + 1 k+1 k+1 次航班，最终的答案即为 f [ 1 ] [ d s t ] , f [ 2 ] [ d s t ] , ⋯ , f [ k + 1 ] [ d s t ] f[1][dst],f[2][dst],⋯,f[k+1][dst] f[1][dst],f[2][dst],⋯,f[k+1][dst]中的最小值。

【代码如下】

class Solution {public:int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {//  f[t][j] 表示经过t个中转(t+1条边)后到达j所需要的最小花费vector<vector<int>> f(k+2,vector<int>(n,10000 * 101 + 1));//  转移方程：f[t][j] = min(f[t-1][i]+cost(i,j)) f[0][src] = 0;for(int t = 1;t<=k+1;t++){for(auto&& flight:flights){int i = flight[0];int j = flight[1];int cost = flight[2];f[t][j] = min(f[t][j],f[t-1][i] + cost);}}//  结果t = 0-k的f[t][j]最小值int ans = 10000 * 101 + 1;for(int t = 0;t<=k+1;t++){ans = min(ans, f[t][dst]);}return ans == 10000 * 101 + 1?-1:ans;}
};

参考文献：
Bellman-Ford算法详解
Bellman-Ford算法
K 站中转内最便宜的航班

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