【期望】BZOJ4872 [SHOI2017] 分手是祝愿

【前言】
疯狂做概率期望.jpg

【题目】
一个游戏由nnn盏灯和nnn个开关组成，给定初始灯的状态（亮或灭）。当操作第iii个开关，则会将所有编号为iii的约数的灯状态取反。当可以通过≤k\leq k≤k次操作灭掉全部灯，就按顺序操作使灯状态改变，否则随机操作。求期望操作次数。n,k≤105n,k\leq 10^5n,k≤105，答案对100003100003100003取模。

【解题思路】
首先一个状态下的最少次数我们显然可以从高位开始贪心，我们可以记下初始状态需要的操作次数cntcntcnt（我们称为正确的操作）。

那么实际上我们可以设计一个DP\text{DP}DP，fif_ifi表示还有iii个正确的操作时，能变成i−1i-1i−1个正确操作的期望操作步数，那么

fi=in+n−in(1+fi+1+fi)infi=1+n−infi+1fi=n+(n−i)fi+1i\begin{aligned} f_i&=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(1+f_{i+1}+f_i)\\ \frac{i}{n}f_i&=1+\frac{n-i}{n}f_{i+1}\\ f_i&=\frac{n+(n-i)f_{i+1}}{i} \end{aligned} finififi=ni+nn−i(1+fi+1+fi)=1+nn−ifi+1=in+(n−i)fi+1

具体意义显然，时间复杂度O(nn)O(n\sqrt n)O(nn)（预处理出cntcntcnt）

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int N=1e5+10,mod=100003;
int n,K,ans,cnt;
int a[N],f[N];int read()
{int ret=0;char c=getchar();while(!isdigit(c)) c=getchar();while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();return ret;
}
void change(int x)
{for(int i=1;i*i<=x;++i){if(!(x%i)) {if(i*i==x) a[i]^=1;else a[i]^=1,a[x/i]^=1;}}
}
int qpow(int x,int y)
{int res=1;for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) res=(ll)res*x%mod;return res;
}
void up(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("BZOJ4872.in","r",stdin);freopen("BZOJ4872.out","w",stdout);
#endifn=read();K=read();for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();for(int i=n;i;--i) if(a[i]) change(i),++cnt;if(K>=cnt) ans=cnt;else{    for(int i=n;i>K;--i) f[i]=(ll)(n+(ll)(n-i)*f[i+1])%mod*qpow(i,mod-2)%mod;for(int i=cnt;i>K;--i) up(ans,f[i]);up(ans,K);}for(int i=1;i<=n;++i) ans=(ll)ans*i%mod;printf("%d\n",ans);return 0;
}

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