EMD和Hilbert

所有_s，如fopen_sfscanf_s引发的问题，都可以通过关闭_CRT_SECURE_NO_WARNINGS警告来解决。所有\_s，如fopen\_s fscanf\_s引发的问题，都可以通过关闭\_CRT\_SECURE\_NO\_WARNINGS警告来解决。
在项目->属性->C/C++->预处理器->预处理器定中添加 _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 这个预定义。

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应。

一、EMD原理介绍

　　EMD的意义

很多人都知道EMD(Empirical Mode Decomposition)可以将信号分解不同频率特性，并且结合Hilbert求解包络以及瞬时频率。EMD、Hilbert、瞬时频率三者有无内在联系？答案是：有。

f(t)=dΦ(t)d(t)f(t) = \frac{{d\Phi (t)}}{{d(t)}}

然而，这样求解瞬时频率在某些情况下有问题，可能出现f(t)f(t)为负的情况：我1秒手指动5下，频率是5Hz；反过来，频率为8Hz时，手指1秒动8下，可如果频率为-5Hz呢？负频率没有意义。

考虑信号

x(t)=x1(t)+x2(t)=A1ejω1t+A2ejω2t=A(t)ejφ(t)x(t) = {x_1}(t) + {x_2}(t) = {A_1}{e^{j{\omega _1}t}} + {A_2}{e^{j{\omega _2}t}} = A(t){e^{j\varphi (t)}}

为了简单起见，假设A1A_1和A2A_2恒定，且ω1\omega_1和ω2\omega_2是正的。信号x(t)x(t)的频谱应由两个在ω1\omega_1和ω2\omega_2的δ\delta函数组成，即

X(ω)=A1δ(ω−ω1)+A2δ(ω−ω2)X(\omega ) = {A_1}\delta (\omega - {\omega _1}) + {A_2}\delta (\omega - {\omega _2})

因为假设ω1\omega_1和ω2\omega_2是正的，所以该信号解析。求得相位

Φ(t)=A1sinω1t+A2sinω2tA1cosω1t+A2cosω2t\Phi (t) = \frac{{{A_1}\sin {\omega _1}t + {A_{\rm{2}}}\sin {\omega _{\rm{2}}}t}}{{{A_1}\cos {\omega _1}t + {A_{\rm{2}}}\cos {\omega _{\rm{2}}}t}}

分别取两组参数，对tt求导，得到对应参数下的瞬时频率：

参数：

ω1=10Hz\omega_1 = 10Hz和ω2=20Hz\omega_2 = 20Hz.

组1：{A1=0.2,A2=1A_1 = 0.2, A_2 = 1};
组2：{A1=1.2,A2=1A_1 = 1.2, A_2 = 1}
对于组2，瞬时频率出现了负值。

可见：

对任意信号进行Hilbert变换，可能出现无法解释、缺乏实际意义的频率分量。Norden E. Hung等人对瞬时频率进行研究后发现，只有满足特定条件的信号，其瞬时频率才具有物理意义，并将此类信号成为：IMF/基本模式分量。
　

　　基本模式分量（IMF）

EMD分解的IMF其瞬时频率具有实际物理意义，原因有两点：

限定1：
在整个数据序列中，极值点的数量NeN_e（包括极大值、极小值点）与过零点的数量必须相等，或最多相差1个，即(Ne−1)≤Ne≥(Ne+1)(N_e-1) \le N_e \ge (N_e+1).
限定2：
在任意时间点tit_i上，信号局部极大值确定的上包络线fmax(t)f_{max}(t)和局部极小值确定的下包络线fmin(t)f_{min}(t)的均值为0.
限定1即要求信号具有类似传统平稳高斯过程的分布；限定2要求局部均值为0，同时用局部最大、最小值的包络作为近似，从而信号局部对称，避免了不对称带来的瞬时频率波动。

二、希尔伯特变换

Hilbert变换是一个很有用的变换，用它来做包络分析更是一种有效的数据处理方法。
信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。
对于窄带信号x(t)，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)和相位解调φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)。

相关MATLAB指令

hilbert
功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq
功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

z = hilbert(x);
f = instfreq(z);
注意给matlab添加时频工具箱.工具下载：http://download.csdn.net/download/zsz_shsf/9987737
实验理解希尔伯特变换：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102e1wv.html

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