Viewing Transformations

线框渲染（wireframe rendering）：仅绘制对象边缘且较近的表面不会遮挡较远的表面的渲染。

视图变换（viewing transformation）：简单来说，就是将一个 3D 物体变成 2D 图像（将 3D 位置（x, y, z）为坐标的物体变换到以一个个像素位置（x, y）来表示的屏幕坐标系之中。

整个视图变换的过程可以分为如下几个过程：

模型变换（modeling transformation）：将物体调整到所需的位置。
相机变换（camera transformation）：将相机以方便的方向放置在原点，取决于相机的位置的方向。
投影变换（projection transformation）：从相机空间投影点，以便所有可见点都落在坐标轴 x 和 y 的 [-1, 1] 范围内，取决于所需的投影类型。
视口变换（viewport transformation）：将单位图像矩阵映射到像素坐标中所需的矩阵，取决于输出图像的大小与位置。

整个过程如下图所示：

The Viewport Transformation

标准视景体（canonical view volume）：

如果我们正在 n_x✖ n_y 像素的屏幕里绘图，那么就需要将正方形 [-1, 1]² 映射到矩阵 [-0.5, n_x - 0.5] ✖ [-0.5, n_y - 0.5] ，即进行视口变换，其变换式子如下：

请注意，上述矩阵忽略了标准视景体中的 z 坐标，因为点沿投影方向的距离不会影响该点在图像中的投影位置。在正式称其为视口变换矩阵 M_vp 之前，需要将 z 轴加上，以方便进行其他变换，如下所示：

The Orthographic Projection Transformation

正交视景体（orthographic view volume）：
其中有：
正交视景体到标准视景体的变换其实也就是上述所说的视口变换，故而可以使用上述视口变换的式子，从而有正交投影变换矩阵 M_orth：

The Camera Transformation

相机变换需要注意 3 点：

眼睛位置（eye position） e
视线方向（gaze direction） g
向上看的向量（view-up vector） t

其中：
相机变换就是将上述 xyz 轴坐标变换到 uvw 轴坐标。相机变换矩阵 M_cam 如下所示：

结合上述所有变换，转换点从世界坐标系到相机坐标系的程序如下：

Projective Transformation

透视（perspective）的重要特性是屏幕上物体上的大小与原点处的眼睛在 z 轴负方向上的 1/z 成正比。如下图所示：

对一个点 (x, y, z)^T 而言，它可以表示为齐次坐标下的点 (x, y, z, 1)^T；其实可以更进一步的用点 (x, y, z, w)^T 表示点 (x/w, y/w, z/w)。

由此，线性变换允许我们计算新的坐标：x^’ = ax + by + cz

仿射变换由此可以得出：x^’ = ax + by + cz + d

点 (x/w, y/w, z/w) 中的 w 可以表示为：w = ex + fy + gz + h

故而有变换后的新坐标如下：

表示成一个矩阵形式：

Perspective Projection

基本的透视投影（perspective projection）由视点 E 和视平面 P 两部分构成；视点可以认为是观察者的位置，也是观察三维世界的角度，视平面就是渲染三维对象透视图的二维平面。

透视投影详细介绍可以看这篇博文：透视投影的原理和实现

透视投影可以看成先对物体进行一个挤压，其变换矩阵为 P；然后再对物体进行正交投影变换，其矩阵为 M_per。

对于远平面上的点而言，矩阵 P 的作用就是将点的 x、y 坐标变成和近平面对应点的 x、y 坐标一样。其实就是 y’ = (n/z)·y 和 x’ = (n/z)·x ，至于 z 坐标，现在还不知道该如何变换，那么就是 unknown，故而有：

我们现在对于矩阵 P 可知：

仔细观察近平面和远平面可知：

矩阵 P 变换，不会改变近平面上的点的 z 坐标
矩阵 P 变换，不会改变远平面上的点的 z 坐标

故而有：

不妨设上述矩阵 P 中 4个问号分别为 A、B、C、D，那么就有：

很显然，A = 0，B = 0，解之得 C = n + f， D = -fn。故而有矩阵 P：

矩阵 P 和正交投影矩阵 M_orth 结合就为透视投影矩阵 M_per：M_per =M_orthP

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