【BZOJ2440】【中山市选2011】—完全平方数（莫比乌斯函数+容斥原理）

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题意：求第 k k k个无平方因子数

考虑到第 k k k个不好求
二分一个数 x x x，计算 x x x以内的无平方因子数

由于容斥原理
a n s = n − ans=n- ans=n−质数的平方的所有倍数+2个质数之积的平方的所有倍数-3个质数之积的平方的所有倍数+4个……
这是个简单的容斥很好证明

考虑一下每个的符号，质数为 − - −,2个质数为 + + +,3个质数为 − - −,4个质数为 + + +

就是莫比乌斯函数！！

由于大于 n \sqrt n n 的数的平方已经大于 n n n了，所以我们只需要枚举 n \sqrt n n 以内的数

而一个数的平方在 n n n内的出现次数为 ⌊ n i 2 ⌋ \lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor ⌊i2n⌋

所以 a n s = ∑ i = 1 n μ ( i ) ⌊ n i 2 ⌋ ans=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor ans=∑i=1n μ(i)⌊i2n⌋

整除分块即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){char ch=getchar();int res=0;while(!isdigit(ch))ch=getchar();while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();return res;
}
#define ll long long
const int N=100005;
int mu[N],pr[N],vis[N],sum[N],tot,n,k;
inline void init(){mu[1]=1;for(int i=2;i<N;++i){if(!vis[i])pr[++tot]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=tot&&i*pr[j]<N;++j){vis[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0)break;mu[i*pr[j]]=-mu[i];}}for(int i=1;i<N;++i)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
inline bool check(int x){int p=sqrt(x),ans=0;for(int i=1,nxt;i<=p;i=nxt+1){nxt=min((int)sqrt(x/(x/(i*i))),p);ans+=(x/(i*i))*(sum[nxt]-sum[i-1]);}return ans>=n;
}
int main(){int T=read();init();while(T--){n=read();int ans=0;int l=1,r=n*2;while(l<=r){int mid=((ll)l+(ll)r)>>1;if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}cout<<ans<<'\n';}
}

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