《离散数学导学》精炼：第4，5章（集合论，布尔代数）
努力拼搏向上攀，勤学苦练谁与争。学海无涯愈向前，成就非凡在远方。
文章目录
- 引言
- 正文
- 第4章 集合论
- 集合，单集，空集
- 超集
- 集合的运算（重点）
- 集合的差集运算
- 差集的性质
- 集合的证明（重点）
- 集合的势和集合的幂集
- 集合的广义运算
- 第5章 布尔代数（重点）
- 布尔代数基础
- 布尔代数的定义
- 布尔代数的性质
- 简写
- 对偶性
引言
笔者一直觉得在计算机这一学科的学习中，离散数学是极为重要的知识基础。离散化的思想体现在计算机学科的方方面面。举例来说，“像素”这一概念是我们日常生活中耳熟能详的，将一个图片拆分成一个个极微小的像素，就是利用了离散化的思想。为了帮助大家打好离散数学的思维基础，笔者新开一个专栏，对《离散数学导学》这本书做一个精炼，使其更易理解。这篇文章是这个专栏的第二部分，主要介绍4-5章。
1-3章传送门
正文
第4章 集合论
集合，单集，空集
只有一个元素的集合叫单集，没有元素的集合叫空集，没什么好说的。
超集
超集是子集的逆运算，符号为⊇，即若A⊆B，则B⊇A。
集合的运算（重点）
首先说明一下，这一部分的运算符和定理大部分可以类比第3章的命题逻辑，笔者会把相似的部分作类比说明。至于为什么能够类比，等到布尔代数部分会有详细解释。
并集和交集也没什么好说的，主要说一下差集。（并集可以类比析取，交集可以类比合取）
集合的差集运算
差集运算，符号为\（有的书上是-）。S\T表示属于S而不属于T的元素构成的集合。
差集的文氏图表示：
差集的性质
书上对差集的性质有很多，但笔者认为需要特殊记忆的只有下面的这几条：
如下图
关于这两条，笔者的记忆方法是类比德摩根律，而且在逻辑上和德摩根律也有相似之处。差集运算不满足交换律和结合律。
这两点很好理解，不多说明。差集运算不是幂等的
这点说明一下。对于幂等，我们贴一下百度百科的定义：
所以对于差集运算这个二元运算，如果S\S=S，则我们说它是幂等的，但实际上S\S=∅，因此它不是幂等的。
集合的证明（重点）
在证明集合间的关系时，我们一般通过举出集合中的某个元素来证明。例如，为了证明S∩T=T∩S，我们设x∈S∩T。证明过程如下：
要理解这个过程，我们将集合的证明转化为命题的等值推理，然后用命题逻辑的方法去证明。
集合的势和集合的幂集
集合中元素的个数就是集合的势，用#(S)表示。
集合的幂集是包含集合的所有子集的集合，符号为P(S)。例如，{1，2}的幂集是{∅, {1}, {2}, {1,2}}。可以看出，幂集是集合的集合。幂集的势#P(S)=2#(S) 。
集合的广义运算
集合的广义运算包括广义交和广义并。
- 广义交：∩(A,B,C)⇔A∩B∩C
- 广义并：∪(A,B,C)⇔A∪B∪C
第5章 布尔代数（重点）
布尔代数是迄今为止最重要的章节，它抽象了命题逻辑和集合论，并为下面的章节打好理论基础。
布尔代数基础
布尔代数的定义
我们称+和*是和与积运算符，'是补运算符，0是零元素，1是单位元素
我们把集合论和命题逻辑以布尔代数的形式说明一下，大概就能理解布尔代数了。
- 对于集合论而言，我们将这个六元组中的B看作集合的幂集，+看作并集运算，*看作交集运算，'看作对全集的补集，0看作空集，1看作全集。
- 对于命题逻辑而言，我们将六元组中的B看作命题的集合，+看作或运算，*看作且运算，'看作非运算，0看作false，1看作true。
读者可以自己去试试四个公理。
笔者简单谈一下自己抽象的理解。+在逻辑中指两个元素的“可能性”满足其一，*指两种可能性同时满足，'指1的”可能性“减去这个元素的”可能性“，0指可能性最少的，1指可能性最多的。
布尔代数的性质
布尔代数的性质书上列了很多，但其实只要把集合论和命题逻辑性质中的符号换一下就可以了。
也很好理解，毕竟集合论和命题逻辑本质上就是布尔代数。
简写
a*b可以简写为ab。
对偶性
一个陈述的对偶是将它之中的0换成1，1换成0，+换成*，* 换成+得到。
例如，（0+a）（a1）的对偶是（1*a）+（a+0）。
——————————————分割线——————————————
PS：笔者把布尔代数的同构知识点放到第九章去讲，第五章只是简要提到了这一知识点，没有讲的价值。
我是霜_哀，在算法之路上努力前行的一位萌新，感谢你的阅读！如果觉得好的话，可以关注一下，我会在将来带来更多更全面的算法讲解！
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