等额本息贷款每月还款金额推导过程

假设贷款总额是A，而每月利息是b，总共360期，目标是计算每个月应该给银多少钱，推导过程如下。

设每个月还银行的本金为
mn(1≤n≤360)m_n ( 1 \leq n \leq 360) mn(1≤n≤360)
每个月还给银行的本金加上利息设为c，则每月的c是固定的。

现在分析一下第i个月的还款情况，前面i-1个月已经还了本金∑n=1i−1mn\sum_{n=1}^{i - 1} m_{n}∑n=1i−1mn，故此时只欠银行的本金为：A−∑n=1i−1mnA - \sum_{n=1}^{i - 1} m_{n}A−∑n=1i−1mn，所本月应还的利息是：(A−∑n=1i−1mn)b(A - \sum_{n=1}^{i - 1} m_{n})b(A−∑n=1i−1mn)b，c应该是利息加上应还有本金，故有：

c=(A−∑n=1i−1mn)b+mi,1≤i≤360(式1)c = (A - \sum_{n = 1} ^ {i-1}m_{n})b + m_{i}, 1 \leq i \leq 360 (式1)c=(A−n=1∑i−1mn)b+mi,1≤i≤360(式1)

当还完第360个月之后，应该不再欠银行钱了，于是有：
A−∑n=1360mn=0(式2)A - \sum_{n=1}^{360}m_{n} = 0 (式2)A−n=1∑360mn=0(式2)

当式1取i = 360时，联合式2即有：
c=(A−∑n=1359mn)b+m360c = (A - \sum_{n=1}^{359} m_{n})b + m_{360}c=(A−n=1∑359mn)b+m360
A−∑n=1359mn−m360=0A - \sum_{n=1}^{359} m_{n} - m_{360} = 0A−n=1∑359mn−m360=0
于是有：
c=m360b+m360c = m_{360}b + m_{360}c=m360b+m360
即：
m360=c1+bm_{360} = \frac {c} {1 + b}m360=1+bc

再次，对式1分别写出第i-1月和第i月的公式，即：
c=(A−∑n=1i−2mn)b+mi−1c = (A - \sum_{n = 1}^{i -2}m_{n})b + m_{i-1}c=(A−n=1∑i−2mn)b+mi−1
c=(A−∑n=1i−2mn−mi−1)b+mi=(A−∑n=1i−2mn)b−mi−1b+mic = (A - \sum_{n = 1}^{i - 2}m_{n} - m_{i-1})b +m_{i} = (A - \sum_{n = 1}^{i-2} m_{n})b - m_{i-1}b + m_{i}c=(A−n=1∑i−2mn−mi−1)b+mi=(A−n=1∑i−2mn)b−mi−1b+mi
将mim_{i}mi看成已知，则可通过这两式子联合求得mi−1m_{i-1}mi−1为：
mi−1=mi1+bm_{i-1} = \frac {m_{i}} {1 + b}mi−1=1+bmi

这就是mim_{i}mi的递推公式，而m360=c1+bm_{360} = \frac {c} {1+b}m360=1+bc，于是得到：
m1=c(1+b)360m_{1} = \frac {c} {(1+b)^{360}}m1=(1+b)360c

最后将式1写出第1个月的公式为：
c=Ab+m1c = Ab + m_{1}c=Ab+m1

即：
c=Ab+c(1+b)360c = Ab + \frac {c} {(1+b)^{360}} c=Ab+(1+b)360c
移项得：
c(1−1(1+b)360)=Abc(1 - \frac {1} {(1+ b)^{360}}) = Abc(1−(1+b)3601)=Ab
即：
c((1+b)360−1(1+b)360)=Abc(\frac {(1+b)^{360} - 1} {(1 + b)^{360}}) = Abc((1+b)360(1+b)360−1)=Ab
故得：
c=Ab(1+b)360(1+b)360−1c = \frac {Ab(1+b)^{360}} {(1+b)^{360} - 1}c=(1+b)360−1Ab(1+b)360

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