摘要

20世纪80年代，全球定位系统(GPS)接收机自主完整性监测(RAIM)被提出，通过检查GPS测量的一致性来提供导航系统的完好性。然而，在飞行路径的进近和着陆阶段，GPS能见度通常较低，现有的RAIM方法由于观测不足，可能无法满足对可用性和完好性的严格航空要求。为解决这一问题，提出了一种用于进近和着陆阶段GPS完好性监测的视觉辅助RAIM方法，即VA-RAIM。通过引入地标作为伪卫星，丰富了卫星导航观测的内容，提高了卫星导航观测的性能。在该方法中，计算机视觉系统拍摄并匹配这些地标，以获得用于导航的额外测量值。然而，具有挑战性的问题是，这些额外的测量可能会出现视觉误差。为了保证视觉测量的可靠性，提出了一种基于GPS的标定算法，以减小视觉误差中的时不变部分。然后，将标定后的视觉测量数据与GPS观测数据集成，进行完好性监测。仿真结果表明，VA-RAIM比常规RAIM具有更高的可用性和故障检测率。

1 介绍

随着卫星导航技术的广泛应用，导航解决方案的完好性已成为一个重大问题，特别是在生命安全方面的应用[1-3]。接收机自主完好性监测(RAIM)是GPS接收机的重要组成部分，它可以评估接收到的GPS信号的完好性，并在出现故障时向用户提供及时的警告信息。进近着陆阶段是飞行路径中存在不安全事故的典型部分，设计合适的RAIM程序对保证飞行安全尤为重要。正常情况下，RAIM的性能依赖于足够数量的可见卫星和精细的几何结构来检查测量的一致性。然而，由于进近和着陆阶段通常与由于障碍物导致的GPS低能见度条件相一致，因此掩模角较大，导致可见卫星不足和几何配置不佳。因此，RAIM的可用性和故障检测性能将大幅下降[4-6]。因此，有必要进一步研究进近着陆阶段的RAIM方法。

在卫星测量数据不足的情况下，传统的RAIM方法将无法满足接近和着陆阶段严格的导航性能要求。为了解决这个问题，一个合乎逻辑的想法是带来其它帮助来为RAIM提供额外的测量。近几十年来，还考虑了其他导航设备，如气压高度计、惯性导航系统和其它卫星星座。例如，利用气压高度表的垂直测距，丰富了RAIM增强[7]的导航测量。但是气压高度表的精度容易受到大气压力快速变化的影响，这在进近和着陆阶段是很常见的。Bhatti等人利用惯性导航系统(INS)提供的速度和姿态，建立了集成INS/GPS的卡尔曼方程来提高RAIM[8]的性能，但INS的误差可能随着时间的推移而漂移，影响完好性结果。Schroth等人受传统模式识别中的随机样本一致性(RANSAC)算法的启发，设计了范围一致性(range consensus, RANCO)算法，借助其它星座[9]来提高多故障检测结果。虽然RANCO算法在足够多的卫星的模拟中表现良好，但许多参数需要经验设置。近年来，研究了一些不使用附加导航设备的增强RAIM方法。Shi等人提出了一种新的基于离散灰色模型的接收机时钟偏置预测模型，设计了时钟辅助的RAIM方法[10]，而影响接收机时钟偏置序列的一些因素是不确定的。[11]中研究了地图辅助完好性方法在智能交通系统中的应用。不幸的是，可用性的性能没有得到改善，因为地图辅助方法给用户一个警报，并在GPS不可用时更改另一个导航系统。

鉴于上述不足，研究利用其它测量源辅助进近和着陆阶段的RAIM具有重要意义。为了提高完好性监测的性能，本文提出了一种基于视觉的完好性监测算法。由于存在障碍物，卫星测量数据不足，我们的基本想法是将由视觉系统拍摄的地标作为伪卫星来丰富导航测量数据。然而，为了辅助RAIM，应用于RAIM的视觉测量应准确可靠。虽然现有的计算机视觉技术在视觉信息提取方面做得很好，但由于背景干扰和平台抖动，视觉测量不可避免地会产生误差。此外，视觉误差可能与视觉长度成比例，因为视觉系统本质上是一个角度系统[12]。为了保证视觉系统的准确性，利用接收到的GPS信号对视觉测量进行校准，从而减少视觉系统的误差。然后，利用标定后的视觉测量对GPS测量方程进行扩展，以提高完好性监测性能。

就我们所知，在进近和着陆阶段的视觉辅助RAIM的研究还比较少。本文旨在提高计算机视觉系统在低GPS能见度条件下的RAIM性能。此外，本文的方法与视觉导航有一些相似之处，而正如Dusha等人[13]所提到的，视觉导航的重点是定位在卫星不可用的地方。实际上，关于视觉/GPS集成的研究还很少。例如，Won等人提出了一种组合导航系统，在低GPS能见度[14]条件下，通过整合有限的GPS测量值来提高基于视觉的导航性能。在[15]中可以找到基于视频的导航方法的其它一些应用程序。然而，对利用视觉系统来增强RAIM的研究却相对较少。

本文的其余部分组织如下。所提出的VA-RAIM方法的细节在第2节中给出。第3节是实验，以证明我们的方法的实际效用。最后，第4节给出结论。

2 提出的VA-RAIM

2.1 VA-RAIM概述

基线RAIM算法主要由可用性和故障检测两部分组成。可用性性能是RAIM关注的一个主要问题，它确定是否有条件以足够的能力进行故障检测。故障检测是对系统正确功能的保障，并确保测量不包含重大故障[16]。

可用性性能取决于可见卫星的数量和几何结构。正常情况下，RAIM至少需要五颗卫星。此外，由几何结构决定的保护水平(PL)应小于告警门限(AL)[17]。不幸的是，在进近和着陆阶段，干扰和障碍物可能会导致信号丢失和大掩模角，这将导致卫星不可见和糟糕的几何结构。进近和着陆阶段的场景如图1所示。在这种情况下，RAIM的可用性性能将显著下降。中国林芝机场是一个典型的进近和着陆阶段的例子，它位于海拔2950米，两侧是海拔5000米左右的山脉。在某些情况下，可见卫星的数量只有4颗，因为低仰角的卫星被高山挡住了。当采用RAIM时，应及时检测系统故障，保证定位结果的完好性。

图1 进场和着陆阶段的场景。

我们的工作目的是在视觉系统的辅助下，为进近和着陆阶段开发一种新的RAIM方法。为了克服可见卫星的不足，VA-RAIM引入了由视觉系统拍摄的地标作为伪卫星进行额外测量，如图1所示。然后，将视觉测量与GPS观测相结合，提高导航的完好性。我们的方法框架如图2所示。为了在视觉系统中利用地标信息，采用检测与匹配算法来获取给定图像中的地标。然而，由于背景干扰、平台抖动等原因，图像处理不可避免地会产生误差。这些误差包括随机时变误差和时不变误差，这些误差可能会影响VA-RAIM的完好性。为了解决这一问题，提出了一种带有标定方法的视觉模型。具体地说，将地标作为伪卫星引入，将视觉系统建模为类似于GPS系统的测量方程。然后，利用在高海拔位置(如图1中的x(0)x(0)x(0))接收到的精细GPS测量值对视觉伪距进行标定，以减小时不变误差。最后，利用视觉和GPS测量值的加权集成设计了VA-RAIM。计算了集成系统在离散时间kkk的检验统计量SSEI(k)SSE_{I(k)}SSEI(k)，并与决策阈值TSSET_{SSE}TSSE进行了比较。如果检验统计量小于决策阈值，则输出为视觉/GPS集成的定位结果。否则，输出将是完好性警告消息。该方法利用视觉系统辅助丰富导航观测数据，增强几何构型，从而提高进近和着陆阶段GPS完好性监测的性能。

图2 VA-RAIM的框架

2.2 带校正的视觉模型

在该方法的框架下，应用视觉系统从给定的图像中提取精确的视觉伪距，以辅助RAIM。然后，设计了一种基于GPS测量数据的标定算法，以减小视觉观测数据的误差。

2.2.1 视觉模型

受GPS定位模型[18]原理的启发，将地标视为伪卫星，获得相似的导航测量值，定义视觉伪距为用户与地标之间距离的估计。但与GPS伪距不同的是，视觉伪距是通过计算而直接测量的。如图3所示，在离散时刻kkk，视觉伪距向量记为m(k)=[m1,m2,⋯,mNV(k)]T∈RNV(k)\pmb{m}_{(k)}=[m_1,m_2,\cdots,m_{N_{V(k)}}]^T \in \pmb{R}^{N_{V(k)}}mmm(k)=[m1,m2,⋯,mNV(k)]T∈RRRNV(k)，它由NV(k)N_{V(k)}NV(k)个视觉伪距组成。应用余弦定理，视觉伪距向量为由NC(k)=NV(k)(NV(k)−1)/2N_{C(k)}=N_{V(k)}(N_{V(k)}−1)/2NC(k)=NV(k)(NV(k)−1)/2个方程组成的过定方程组的解，如下：
mi(k)2+mj(k)2−2mi(k)mj(k)cij(k)−dij2=0,∀i(k)≠j(k)i(k),j(k)∈1,2,⋯,NV(k)(1)m_{i(k)}^2+m_{j(k)}^2-2m_{i(k)}m_{j(k)}c_{ij(k)}-d_{ij}^2=0,\ \ \underset{i(k) \neq j(k)}{\forall} i(k),j(k)\in 1,2,\cdots,N_{V(k)} \tag{1} mi(k)2+mj(k)2−2mi(k)mj(k)cij(k)−dij2=0, i(k)=j(k)∀i(k),j(k)∈1,2,⋯,NV(k)(1)
其中mi(k)∈R+m_{i(k)}\in \pmb{R}^+mi(k)∈RRR+是第iii个路标点pi∈R3\pmb{p}_i\in \pmb{R}^3pppi∈RRR3在kkk时刻的视觉伪距。cij(k)=cosθij(k)∈[−1,1]c_{ij(k)}=cos\theta_{ij(k)} \in [-1,1]cij(k)=cosθij(k)∈[−1,1]，其中θij(k)∈[0,π]\theta_{ij(k)}\in [0,\pi]θij(k)∈[0,π]是视线向量pi\pmb{p}_ipppi和pj∈R3\pmb{p}_j\in \pmb{R}^3pppj∈RRR3之间的夹角。对于公式（1）中的其它项，dij=∣∣pi−pj∣∣∈R+d_{ij}=||\pmb{p}_i-\pmb{p}_j||\in\pmb{R}^+dij=∣∣pppi−pppj∣∣∈RRR+是地标pi\pmb{p}_ipppi和地标pj\pmb{p}_jpppj之间的标称距离，且不随时间变化。

图3 视觉伪距模型

（A）误差分析

由公式（1）所示，视觉伪距向量由dij2d_{ij}^2dij2和cij(k)c_{ij(k)}cij(k)决定。在本节中，我们考虑NV(k)=3N_{V(k)} = 3NV(k)=3来简化下面的分析，同时我们的方法也可以很容易地扩展到任意数量的地标。根据公式（1）的微分参数，可得视觉伪距误差δm(k)=[m1(k),m2(k),m3(k)]T\delta m_{(k)} = [m_{1(k)}, m_{2(k)}, m_{3(k)}]^Tδm(k)=[m1(k),m2(k),m3(k)]T与这些参数的误差δd=[δd122,δd232,δd312]T\delta d = [\delta d^2_{12}, \delta d^2_{23}, \delta d^2_{31}]^Tδd=[δd122,δd232,δd312]T与δc(k)=[δc12(k),δc23(k),δc31(k)]T\delta c_{(k)} = [\delta c_{12(k)}, \delta c_{23(k)}, \delta c_{31(k)}]^Tδc(k)=[δc12(k),δc23(k),δc31(k)]T的关系：
A(k)δm(k)=δc(k)+B(k)δd(2)\pmb{A}_{(k)}\delta \pmb{m}_{(k)}=\delta \pmb{c}_{(k)}+\pmb{B}_{(k)}\delta \pmb{d} \tag{2} AAA(k)δmmm(k)=δccc(k)+BBB(k)δddd(2)
其中，
A(k)=[1m2(k)−c12(k)m1(k)1m1(k)−c12(k)m2(k)001m3(k)−c23(k)m2(k)1m2(k)−c23(k)m31m3(k)−c31(k)m1(k)01m1(k)−c31(k)m3(k)]\pmb{A}_{(k)}=\begin{bmatrix} \frac{1}{m_{2(k)}}-\frac{c_{12(k)}}{m_{1(k)}} & \frac{1}{m_{1(k)}}-\frac{c_{12(k)}}{m_{2(k)}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_{3(k)}}-\frac{c_{23(k)}}{m_{2(k)}} & \frac{1}{m_{2(k)}} - \frac{c_{23(k)}}{m_3} \\ \frac{1}{m_{3(k)}}-\frac{c_{31(k)}}{m_{1(k)}} & 0 & \frac{1}{m_{1(k)}} - \frac{c_{31(k)}}{m_{3(k)}} \end{bmatrix} AAA(k)=⎣⎢⎡m2(k)1−m1(k)c12(k)0m3(k)1−m1(k)c31(k)m1(k)1−m2(k)c12(k)m3(k)1−m2(k)c23(k)00m2(k)1−m3c23(k)m1(k)1−m3(k)c31(k)⎦⎥⎤
和
B(k)=12m1(k)m2(k)m3(k)[m3(k)000m1(k)000m2(k)]\pmb{B}_{(k)}=\frac{1}{2m_{1(k)}m_{2(k)}m_{3(k)}}\begin{bmatrix} m_{3(k)} & 0 & 0\\ 0 & m_{1(k)} & 0 \\ 0 & 0 & m_{2(k)} \end{bmatrix} BBB(k)=2m1(k)m2(k)m3(k)1⎣⎡m3(k)000m1(k)000m2(k)⎦⎤

然后，我们可以得到，
δm(k)=A(k)−1δc(k)+A(k)−1B(k)δd(3)\delta \pmb{m}_{(k)}=\pmb{A}^{-1}_{(k)}\delta \pmb{c}_{(k)}+\pmb{A}^{-1}_{(k)}\pmb{B}_{(k)}\delta \pmb{d} \tag{3} δmmm(k)=AAA(k)−1δccc(k)+AAA(k)−1BBB(k)δddd(3)

在公式（3）中，由于δd\delta dδd固定于一组给定的长度，因此它产生视觉系统的时不变误差。δc(k)\delta c_{(k)}δc(k)由第kkk时刻的检测和匹配结果决定，产生随机时变误差。δd\delta dδd和δc(k)\delta c_{(k)}δc(k)的性质分析如下。

如果准确地得到每对地标点的距离，则δd=0\delta d = 0δd=0，公式（3）右侧的第二部分消失。然而，直接测量距离是非常具有挑战性的。在实际应用中，我们可以利用实时运动学（RTK）测量出厘米级精度的地标位置，然后计算出距离。其中，位置差计算为dij2=∣∣pi−pj∣∣2d^2_{ij} = ||\pmb{p}_i−\pmb{p}_j||^2dij2=∣∣pppi−pppj∣∣2，位置差的误差计算为δdij2=2(pi−pj)T(δpi−δpj)\delta d^2_{ij} = 2(\pmb{p}_i−\pmb{p}_j)^T(\delta \pmb{p}_i−\delta \pmb{p}_j)δdij2=2(pppi−pppj)T(δpppi−δpppj)。假设地标位置误差各分量服从N(0，σg2)N(0，\sigma^2_g)N(0，σg2)且相互独立，则δdij2\delta d^2_{ij}δdij2服从均值为0和方差为8dij2σg28d_{ij}^2\sigma_g^28dij2σg2的高斯分布，且与dij2d^2_{ij}dij2成正比。

利用物体到图像空间的变换投影[19]，计算参数cij(k)c_{ij(k)}cij(k)：
cij(k)=<pi(k)C∣∣pi(k)C∣∣,pj(k)C∣∣pj(k)C∣∣>(4)c_{ij(k)} = <\frac{\pmb{p}_{i(k)}^C}{||\pmb{p}_{i(k)}^C||},\frac{\pmb{p}^C_{j(k)}}{||\pmb{p}_{j(k)}^C||}> \tag{4} cij(k)=<∣∣pppi(k)C∣∣pppi(k)C,∣∣pppj(k)C∣∣pppj(k)C>(4)
其中<,><,><,>是指向量的内积，pi(k)C∈R2\pmb{p}_{i(k)}^C \in \pmb{R}^2pppi(k)C∈RRR2是表示在相机系下的第iii个地标，pj(k)C∈R2\pmb{p}_{j(k)}^C \in \pmb{R}^2pppj(k)C∈RRR2是表示在相机系下的第jjj个地标，正如图3所示。通过检测匹配算法获得相机系内的地标，假设检测误差δpi(k)C\delta \pmb{p}^C_{i(k)}δpppi(k)C服从均值为零协方差矩阵为Σp∈R2×2\pmb{Σ_p}∈\pmb{R}^{2\times2}ΣpΣpΣp∈RRR2×2的独立正态分布。

线性化公式（4）可以得到：
δcij(k)=<δpi(k)C∣∣pi(k)C∣∣,pj(k)C∣∣pj(k)C∣∣>+<pi(k)C∣∣pi(k)C∣∣,δpj(k)C∣∣pj(k)C∣∣>(5)\delta c_{ij(k)}=<\delta \frac{\pmb{p}_{i(k)}^C}{||\pmb{p}_{i(k)}^C||},\frac{\pmb{p}_{j(k)}^C}{||\pmb{p}_{j(k)}^C||}>+<\frac{\pmb{p}_{i(k)}^C}{||\pmb{p}_{i(k)}^C||},\delta \frac{\pmb{p}_{j(k)}^C}{||\pmb{p}_{j(k)}^C||}> \tag{5} δcij(k)=<δ∣∣pppi(k)C∣∣pppi(k)C,∣∣pppj(k)C∣∣pppj(k)C>+<∣∣pppi(k)C∣∣pppi(k)C,δ∣∣pppj(k)C∣∣pppj(k)C>(5)

正如附录中所证明的，δcij(k)\delta c_{ij(k)}δcij(k)可以线性化为δpi(k)C\delta \pmb{p}_{i(k)}^Cδpppi(k)C和δpj(k)C\delta \pmb{p}_{j(k)}^Cδpppj(k)C的组合，即
δcij(k)=μij(k)Tδpi(k)C+μji(k)Tδpj(k)C(6)\delta c_{ij(k)}=\pmb{\mu}^T_{ij(k)}\delta \pmb{p}_{i(k)}^C+\pmb{\mu}_{ji(k)}^T\delta \pmb{p}_{j(k)}^C \tag{6} δcij(k)=μμμij(k)Tδpppi(k)C+μμμji(k)Tδpppj(k)C(6)
它服从零均值协方差为μij(k)TΣpμij(k)+μji(k)TΣpμji(k)\pmb{\mu}_{ij(k)}^T\pmb{\Sigma_p}\pmb{\mu}_{ij(k)}+\pmb{\mu}_{ji(k)}^T\pmb{\Sigma_p}\pmb{\mu}_{ji(k)}μμμij(k)TΣpΣpΣpμμμij(k)+μμμji(k)TΣpΣpΣpμμμji(k)的正态分布。因此，我们可以得知，δc(k)\delta \pmb{c}(k)δccc(k)服从零均值协方差为Σc(k)∈RNC(k)×Nc(k)\pmb{\Sigma}_{c(k)}\in \pmb{R}^{N_{C(k)}\times N_{c(k)}}ΣΣΣc(k)∈RRRNC(k)×Nc(k)的正态分布。

（B）故障分析

在RAIM算法中，GPS故障定义为偏离其标称行为[2]的伪距偏差。图4绘制了不同可见卫星数量的卫星同时发生故障的概率。由于本文场景集中在GPS能见度较低（通常小于8）的进近和着陆阶段，因此多故障同时发生的概率小于完好性要求10−710^{−7}10−7，在应用中可以忽略。因此，在本文中，GPS的威胁是在最多一个可见卫星上的故障。然而，如果可见卫星足够多，不能忽略多故障，我们可以使用独立的卫星观测[9]来检测故障。

图4 卫星同时发生故障的概率。

在辅助导航中，视觉系统也会出现故障。随着视觉伪距的引入，视觉系统的故障最终导致了类似于GPS伪距偏差的视觉伪距偏差。如公式（3）所示，伪距故障由δd\delta \pmb{d}δddd和δc(k)\delta \pmb{c}(k)δccc(k)决定。在实际应用中，有各种类型的威胁可能导致δd\delta \pmb{d}δddd或δc(k)\delta \pmb{c}(k)δccc(k)出现故障。本文考虑两个典型的例子，即图像处理过程中地标位置出现故障和特征检测结果出现故障。

（1）在δd\delta \pmb{d}δddd中的故障

如果在第iii个地标位置上有一个故障Δpi\Delta \pmb{p}_iΔpppi，位置差的误差可以计算为2(pi−pj)T(δpi+Δpi−δpj)=δdij2+Δdij22(\pmb{p}_i-\pmb{p}_j)^T(\delta \pmb{p}_i+\Delta \pmb{p}_i-\delta \pmb{p}_j)=\delta d_{ij}^2+\Delta d_{ij}^22(pppi−pppj)T(δpppi+Δpppi−δpppj)=δdij2+Δdij2，其中Δdij2=2(pi−pj)TΔpi\Delta d_{ij}^2=2(\pmb{p}_i-\pmb{p}_j)^T\Delta \pmb{p}_iΔdij2=2(pppi−pppj)TΔpppi是由位置故障造成的偏差。由于定位结果是事先给定的，因此偏差故障在飞行过程中是不变的。因此，δd\delta \pmb{d}δddd可以被更新为δd′=δd+Δd\delta \pmb{d} ^\prime = \delta \pmb{d} + \Delta \pmb{d}δddd′=δddd+Δddd，其中Δd=[Δd122,Δd232,Δd312]T\Delta \pmb{d}=[\Delta d_{12}^2,\Delta d_{23}^2,\Delta d_{31}^2]^TΔddd=[Δd122,Δd232,Δd312]T。

（2）在δc(k)\delta \pmb{c}(k)δccc(k)中的故障

如果图像处理过程中特征检测结果出现故障Δpi(k)C\Delta \pmb{p}^C_{i(k)}Δpppi(k)C，结合公式（6），可将δcij(k)\delta c_{ij(k)}δcij(k)更新为：
δcij(k)′=δcij(k)+μij(k)TΔpi(k)C+μji(k)Tδpj(k)C(7)\delta c_{ij(k)} '=\delta c_{ij(k)}+\pmb{\mu}_{ij(k)}^T\Delta \pmb{p}_{i(k)}^C+\pmb{\mu}^T_{ji(k)}\delta \pmb{p}_{j(k)}^C \tag{7} δcij(k)′=δcij(k)+μμμij(k)TΔpppi(k)C+μμμji(k)Tδpppj(k)C(7)

记Δcij(k)=μij(k)TΔpi(k)C+μji(k)TΔpj(k)C\Delta c_{ij(k)}=\pmb{\mu}_{ij(k)}^T\Delta \pmb{p}_{i(k)}^C+\pmb{\mu}_{ji(k)}^T\Delta \pmb{p}_{j(k)}^CΔcij(k)=μμμij(k)TΔpppi(k)C+μμμji(k)TΔpppj(k)C，然后δc(k)\delta \pmb{c}(k)δccc(k)可以被更新为δc(k)′=δc(k)+Δc(k)\delta \pmb{c}(k)'=\delta \pmb{c}(k)+\Delta \pmb{c}(k)δccc(k)′=δccc(k)+Δccc(k)，其中Δc(k)=[Δc12(k),Δc23(k),Δc31(k)]T\Delta \pmb{c}(k)=[\Delta c_{12(k)},\Delta c_{23(k)}, \Delta c_{31(k)}]^TΔccc(k)=[Δc12(k),Δc23(k),Δc31(k)]T。

利用真实的计算机视觉数据可以统计出视觉故障的概率，相对较高的概率往往反映了数据采集环境的挑战性，有待进一步研究。

（C）视觉测量方程

与线性GPS测量方程[20]相似，有NV(k)N_{V(k)}NV(k)地标的线性视觉测量方程可以建模为：
zV(k)=HV(k)x(k)+εV(k)+bV(k)(8)\pmb{z}_{V(k)}=\pmb{H}_{V(k)}\pmb{x}_{(k)}+\pmb{\varepsilon}_{V(k)}+\pmb{b}_{V(k)} \tag{8} zzzV(k)=HHHV(k)xxx(k)+εεεV(k)+bbbV(k)(8)
其中zV(k)∈RNV(k)\pmb{z}_{V(k)}\in \pmb{R}^{N_{V(k)}}zzzV(k)∈RRRNV(k)是在kkk时刻由视觉伪距获得的视觉测量，HV(k)∈RNV(k)×4\pmb{H}_{V(k)} \in \pmb{R}^{N_{V(k)}\times 4}HHHV(k)∈RRRNV(k)×4是视觉观测矩阵。x(k)∈R4\pmb{x}_{(k)}\in \pmb{R}^4xxx(k)∈RRR4是状态向量，包括三维位置[x(k),y(k),z(k)]T[x(k),y(k),z(k)]^T[x(k),y(k),z(k)]T和接收机钟差Cb(k)C_{b(k)}Cb(k)。εV(k)∈RNV(k)\pmb{\varepsilon}_{V(k)}\in \pmb{R}^{N_{V(k)}}εεεV(k)∈RRRNV(k)和bV(k)∈RNV(k)\pmb{b}_{V(k)}\in \pmb{R}^{N_{V(k)}}bbbV(k)∈RRRNV(k)分别是随机误差和视觉伪距偏差。

根据公式（3）和（8），考虑视觉故障Δd\Delta\pmb{d}Δddd和Δc(k)\Delta \pmb{c}_{(k)}Δccc(k)的εV(k)\pmb{\varepsilon}_{V(k)}εεεV(k)和bV(k)\pmb{b}_{V(k)}bbbV(k)为：
εV(k)=A(k)−1δc(k)(9)\pmb{\varepsilon}_{V(k)}=\pmb{A}^{-1}_{(k)}\delta \pmb{c}_{(k)} \tag{9} εεεV(k)=AAA(k)−1δccc(k)(9)

bV(k)=A(k)−1B(k)(δd+Δd)+A(k)−1Δc(k)(10)\pmb{b}_{V(k)}=\pmb{A}_{(k)}^{-1}\pmb{B}_{(k)}(\delta \pmb{d}+\Delta \pmb{d})+\pmb{A}^{-1}_{(k)}\Delta \pmb{c}_{(k)} \tag{10} bbbV(k)=AAA(k)−1BBB(k)(δddd+Δddd)+AAA(k)−1Δccc(k)(10)
其中εV(k)\pmb{\varepsilon}_{V(k)}εεεV(k)服从均值为0协方差为ΣV(k)=A(k)−1Σc(k)(A(k)−1)T\pmb{\Sigma}_{V(k)}=\pmb{A}^{-1}_{(k)}\pmb{\Sigma}_{c(k)}(\pmb{A}^{-1}_{(k)})^TΣΣΣV(k)=AAA(k)−1ΣΣΣc(k)(AAA(k)−1)T的正态分布。由公式（10）可知，与GPS单次伪距故障不同，Δd\Delta\pmb{d}Δddd或Δc(k)\Delta \pmb{c}_{(k)}Δccc(k)的单次故障会对公式（8）中的多个视觉伪距测量产生影响。在下一节中，提出了一种校准方法，以减轻视觉故障的影响。

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