从农夫过河问题理解顶点覆盖、团和独立集

农夫过河问题

经典的农夫过河问题，相冲突的生物之间有连线，每次携带走某几个生物后，要保证剩下的没有连线存在。问船的容量最小是多少呢？

视频：【Numberphile】农夫过桥问题和阿尔昆数

直观的思路就是，找最少需要几只手盖住顶点后能消除所有连线（即最小覆盖）：

但有时只有最小顶点覆盖个位置是不够的。

如下面的例子，最小顶点覆盖显然是1，把狼盖住就行了：

但船若只有1个额外位置是不行的，一个来回之后就卡住了：

这就需要再额外增加一个位置，也就是最小顶点覆盖数+1个位置。这时只要总是把狼带在身边，就能用剩下的位置一个个运送其它生物了。

所以最多只需要最小顶点覆盖数+1个位置，而有时只需最小顶点覆盖数个位置即可。关于确定什么时候需要+1是NP难的问题。

农夫过河问题可以归纳成顶点覆盖问题。下面引入顶点覆盖的具体概念，并与团和独立集作对比。

点覆盖 (vertex covering set)

设C ⊂ V (G) ，若 G 的每条边至少有一个端点属于 C，则称 C 是 G 的一个点覆盖。若对任给的v ∈C ，C −{v}不再是 G 的点覆盖，则称点覆盖 C 是一个极小点覆盖。图 G 的含点数最少的点覆盖称为最小点覆盖，其点数称为 G 的点覆盖数，记为 β (G) 或 β 。

C1 = {v0, v1, v3, v5, v7} 和 C2 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}都是G的点覆盖，且都是极小点覆盖。其中C1是最小点覆盖，β (G) ＝4。

团（clique）

设 K ⊂ V (G)，若导出子图G[K] 是完全图（每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连），则称 K 是 G 的一个团。若给团 K 添加V (G) \ K 中任何顶点，导出子图都不再是团，则称 K 是一个极大团。图 G 的含顶点数最多的团称为 G 的最大团，其顶点数称为 G 的团数，记为Cl(G) 。

k1 = {v0, v1, v2}，k2 = {v0, v2, v3}，k3={v0, v2, v3, v4}都是G的团。

其中k1是极大团，k2则不是。k3是G的最大团。

点独立集(vertex independent set)

设 I ⊆ V（G），若 I 中任二顶点均不相邻，则称 I 为图 G 的一个点独立集（简称独立集）；若对∀u ∈V (G) \ I ， I U {u}都不再是 G 的独立集，则称独立集 I 为图 G 的一个极大点独立集。G 的含点数最多的点独立集称为最大点独立集，

I₁ = {v0}， I₂ = {v1, v4, v7}，I₃ = {v1, v3, v5, v7}都是G的独立集，且都是极大独立集。其中I₃是最大独立集。

相互联系

对任意的无向图G=<V, E>和子集V’ ⊆ V，下面命题是等价的：

V’是G的顶点覆盖
V - V’ 是G的独立集
V - V’ 是G补图的团

顶点覆盖和独立集是互补关系。顶点覆盖包含了所有连线，盖住后剩下的点之间就没有任何连线了，便形成了独立集。

独立集就是补图的团。独立集的点之间没有任何连线，在补图中就有所有连线，便形成了团。