Introduction

在社会学和生态学中，经常会有cascade出现。所谓cascade指一个个体的行为被不停传导至网络的其他部分。生态学中提出了一个模型叫metapopulation modeling.
一个常见的问题是个体最大化其在网络中的传播。但是，不好量化随机过程。本文针对这一特点提出了一个优化框架。
这个问题很有现实意义。在商业活动中，选k个人作为初始传播者，使最终的传播最广，这是一个次模问题。贪心可以获得近似最优解。
在metapopulation modeling当中，初始位置确定不能变化，最终的结果也更受地形影响，而不是初始位置。
本文的模型更加通用。不但可以选择初始点，还可以通过增加顶点来影响cascade过程。加边和改变传播概率的操作也可以包括在内。这个问题不次模，所以是个混合整数规划(mixed integer program (MIP))问题。SAA(sample average approximation) 是我们的主要计算工具，它提供了一种解法，数据小时可能overfit，但是数据足够多时可以吻合样例。除了SAA/MIP，还提出了一些预处理的优化技巧。
最终，我们的模型在现实中被用来保护RCW，效果很牛逼。

Problem Statement

2.1 progressive cascade

progressive cascade : 有一组起始点，在图中随机传播使得邻接点active，直到某一时刻无法传播。给了一个target nodes集合TTT，一个有限的management budget，选一些management action使得active的TTT中点最多。点被激活后就永生了。
independent cascade model 每个点激活后只能随机传播一次，无论成功与否
live edge : For each edge (v,w)∈E(v, w) ∈ E(v,w)∈E, flip a coin with probability pvw to decide whether the edge is live.
cascade graph: subgraph G′G'G′ consisting of live edges be called the cascade graph
A=1,2,...LA = {1,2,...L}A=1,2,...L – management actions
clc_lcl – cost
yyy – strategy 0/1 vector
SSS – Source Set
TTT – target nodes set
BBB – Budget
pvw/p(v,w)p_{vw}/p(v, w)pvw/p(v,w) – 转移概率
Problem:

2.2 Non-progressive Cascade

non-progressive cascade : 被激活的点可能重新变为死点。这种情况下的图可以转化为progressive cascade，只需要为每个时间单独列出一组点，且边只能由 ttt 时间连向 t+1t+1t+1 即可。
vi,t∈VTv_{i,t} ∈ V^Tvi,t∈VT表示时刻 ttt，点编号为 iii 的点。
βi\beta_iβi表示 iii 号点在下一时间存活的概率。

2.3 Management Actions

G0=（V0,E0）G_0=（V_0,E_0）G0=（V0,E0） – 已经激活的点集V0V_0V0对应的图
VlV_lVl – 第lll次操作买的点集
V=V0∪∑VlV = V_0 ∪ \sum V_lV=V0∪∑Vl
GGG ----- VVV 对应的图
V(y)V (y)V(y) – 被买的点集 G(y)G(y)G(y) – 对应的子图
Xv(y)X_v (y)Xv(y) – G(y)G(y)G(y)当中cascade激活的点集
买点的模型可以用来描述买边的模型。将 (v,w)(v, w)(v,w) 用 (v,e)(e,v)(v, e)(e, v)(v,e)(e,v)两条边代替，eee代表买边。概率p0(v,e)=p(v,w),p0(e,w)=1p_0(v, e) = p(v, w), p_0(e, w) = 1p0(v,e)=p(v,w),p0(e,w)=1

2.4 Conservation Application

讲了一个metapopulation model的例子，这类模型属于non-progressive cascade 。点数编号 iii 转化为patch编号。TTT 表示总时间。问题描述和之前的文章当中一样，不再赘述。

2.5 Non-Submodularity

上述问题是非次模的。然后举反例说明。

Related Work

废话挺多，跳过。

Methodology

Sample Average Approximation

在随机问题中取n个场景，把随机优化问题变为确定问题。
在原图GGG中事先抛硬币构建新图G′G'G′。G1′,...,GN′⊆GG_1', . . . , G_N' ⊆ GG1′,...,GN′⊆G取名叫training cascades。ξvk(y)=0/1ξ_v^k(y)=0/1ξvk(y)=0/1表示点v在图Gk′(y)G_k'(y)Gk′(y)中是否可达。式子1的估值就是

在non-progressive cascade当中，用可达性xvkx_v^kxvk表示ξvk(y)ξ_v^k(y)ξvk(y)。
问题如下：

现在问题变为了：买哪些点集，使得可以到达的target nodes最多？

Bounds ???

problems:
how to calculate ZiZ_iZi?
how reestimate best solution y?

Preprocessing

怎样预处理cascade提高效率？

Pruning 忽略s到不了的点和到不了t的点。
Collapsing Sources 如果SSS到vvv的路径上只有初始图V0V_0V0的边，就把vvv也加入到source SSS里。最后，用一个统一的点表示SSS当中的所有点。此外，还可以把所有具有相同性质的点缩成一个点。

u⇒vu ⇒ vu⇒v 表示如果u可达，v也可达。有两种情况可以得到这个结论：

(u,v)∈E(u, v) ∈ E(u,v)∈E and A(u)⊆A(v)A(u) ⊆ A(v)A(u)⊆A(v). I.e., u links to v,
and whenever u is purchased v is also purchased.
(v,u)∈E(v, u) ∈ E(v,u)∈E and /∃w:(w,u)∈E/∃w : (w, u) ∈ E/∃w:(w,u)∈E. I.e., the only
link to u comes through v; hence, any path that
reaches v must go through u.

用上面两种情况可以构造有向图，找出所有的强连通分量CCC，并缩点。之后还需要更新原问题的其他参数：(i) (ii) (iii)

Greedy Baselines

两个baseline: greedy-uc / greedy-cb
greedy-uc : 每次选择使objective value增加最多的方案。
greedy-cb : 每次选择使objective value增量和花费增量之比增加最多的方案。
贪心算法每次的操作有后效性。所以，可以把VlV_lVl的点加入到V0V_0V0当中，重复preprocessing的过程。这一层优化效果显著。

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