【离散数学第三版第十四章】代数系统

代数系统

1 二元运算及其性质

1.1 二元运算与一元运算的定义

概念：
定义：设 S S S为集合，函数 f : S × S → S f:S \times S \to S f:S×S→S称为 S S S上的二元运算，简称为二元运算。这时也称 S S S对 f f f封闭。

定义：设 S S S为集合，函数 f : S → S f:S \to S f:S→S称为 S S S上的一元运算，简称为一元运算。

使用算符可以更方便的定义运算，定义的方法是给出运算的表达式或运算表。表达式适合于表示具有共同规则的运算，而运算表不要求运算具有共同规则，但是运算必须定义在有穷集上。下表给出了二元运算与一元运算的运算表的一般形式，这些运算都定义在集合 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n {a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot,a_n} a1,a2,⋅⋅⋅,an上。

示例：
例1：
（1）设 R R R为实数集合，如下定义 R R R上的二元运算 ∗ * ∗ ∀ x , y ∈ R , x ∗ y = x \forall x,y \in R,x * y =x ∀x,y∈R,x∗y=x 这里的 ∗ * ∗运算是使用表达式定义的。
（2）令 A = P ( a , b ) A=P({a,b}) A=P(a,b)， ⊕ \oplus ⊕和 ∼ \sim ∼分别为对称差和绝对补运算（ a , b {a,b} a,b为全集），下表表示这两个运算的运算表。

例2：
设 Z n = { 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n − 1 } Z_n=\{0,1,\cdot \cdot \cdot,n-1\} Zn={0,1,⋅⋅⋅,n−1}， ⊕ \oplus ⊕和 ⊗ \otimes ⊗分别表示模 n n n加法和模 n n n乘法。即 x ⊕ y = ( x + y ) m o d n x \oplus y=(x+y)mod n x⊕y=(x+y)modn， x ⊗ y = ( x y ) m o d n x \otimes y=(xy) mod n x⊗y=(xy)modn。那么当 n = 5 n=5 n=5时，这两个运算的运算表如下所示。

1.2 二元运算的性质

概念：
定义：设 ∘ \circ ∘为 S S S上的二元运算，
（1）如果对于任意的 x , y ∈ S x,y \in S x,y∈S有 x ∘ y = y ∘ x x \circ y=y \circ x x∘y=y∘x则称 ∘ \circ ∘运算在 S S S上满足交换律。
（2）如果对于任意的 x , y , z ∈ S x,y,z \in S x,y,z∈S有 ( x ∘ y ) ∘ z = x ∘ ( y ∘ z ) (x\circ y)\circ z=x\circ (y \circ z) (x∘y)∘z=x∘(y∘z)则称 ∘ \circ ∘运算在 S S S上满足结合律。
（3）如果对于任意的 x ∈ S x \in S x∈S有 x ∘ x = x x \circ x=x x∘x=x则称 ∘ \circ ∘运算在 S S S上满足幂等律。

定义：设 ∘ \circ ∘和 ∗ * ∗为 S S S上两个不同的二元运算，
（1）如果对于任意的 x , y , z ∈ S x,y,z \in S x,y,z∈S有 ( x ∗ y ) ∘ z = ( x ∘ z ) ∗ ( y ∘ z ) 和 z ∘ ( x ∗ y ) = ( z ∘ x ) ∗ ( z ∘ y ) (x*y)\circ z=(x \circ z)*(y \circ z)和z \circ(x*y)=(z \circ x)*(z \circ y) (x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)和z∘(x∗y)=(z∘x)∗(z∘y)则称 ∘ \circ ∘运算对 ∗ * ∗运算满足分配律。
（2）如果 ∘ \circ ∘和 ∗ * ∗都可交换，并且对于任意的 x , y ∈ S x,y \in S x,y∈S有 x ∘ ( x ∗ y ) = x 和 x ∗ ( x ∘ y ) = x x\circ (x*y)=x和x*(x \circ y)=x x∘(x∗y)=x和x∗(x∘y)=x则称 ∘ \circ ∘和 ∗ * ∗运算满足吸收律。

下面考虑运算的特异元素：单位元、零元、可逆元以及它们的逆元。这些特异元素也称作代数系统的代数常数。
定义：设 ∘ \circ ∘为 S S S上的二元运算，
（1）如果存在 e l （或 e r ） ∈ S e_l（或e_r）\in S el（或er）∈S，使得对任意 x ∈ S x \in S x∈S都有 e l ∘ x = x （或 x ∘ e r = x ） e_l \circ x=x（或x \circ e_r=x） el∘x=x（或x∘er=x）则称 e l （或 e r ） e_l（或e_r） el（或er）是 S S S中关于 ∘ \circ ∘运算的左（或右）单位元。若 e ∈ S e \in S e∈S关于 ∘ \circ ∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e e e为 S S S上关于 ∘ \circ ∘运算的单位元。单位元也称作幺元。
（2）如果存在 θ l （或 θ r ） ∈ S {\theta}_l（或{\theta}_r）\in S θl（或θr）∈S，使得对任意 x ∈ S x \in S x∈S都有 θ l ∘ x = θ l （或 x ∘ θ r = θ r ） {\theta}_l \circ x={\theta}_l（或x \circ {\theta}_r={\theta}_r） θl∘x=θl（或x∘θr=θr）则称 θ l （或 θ r ） {\theta}_l（或{\theta}_r） θl（或θr）是 S S S中关于 ∘ \circ ∘运算的左（或右）零元。若 θ ∈ S \theta \in S θ∈S关于 ∘ \circ ∘运算既是左零元又是右零元，则称 θ \theta θ为 S S S上关于 ∘ \circ ∘运算的零元。
（3）令 e e e为 S S S中关于运算 ∘ \circ ∘的单位元。对于 x ∈ S x \in S x∈S，如果存在 y l （或 y r ） ∈ S y_l（或y_r）\in S yl（或yr）∈S使得 y l ∘ x = e （或 x ∘ y r = e ） y_l \circ x=e（或x \circ y_r=e） yl∘x=e（或x∘yr=e）则称 y l （或 y r ） y_l（或y_r） yl（或yr）是 x x x关于 ∘ \circ ∘运算的左逆元（或右逆元）。若 y ∈ S y \in S y∈S既是 x x x的左逆元又是 x x x的右逆元，则称 y y y为 x x x的逆元。如果 x x x的逆元存在，就称 x x x是可逆的。

定义：设 ∘ \circ ∘为集合 S S S上的二元运算，如果对于任意元素 x , y , z ∈ S , x ≠ θ x,y,z \in S,x \ne \theta x,y,z∈S,x=θ，都有 x ∘ y = x ∘ z ⇒ y = z , y ∘ x = z ∘ x ⇒ y = z x \circ y=x \circ z \Rightarrow y=z,y \circ x=z \circ x \Rightarrow y=z x∘y=x∘z⇒y=z,y∘x=z∘x⇒y=z成立，则称 ∘ \circ ∘运算满足消去律。

例题：
例1： 设 ∘ \circ ∘运算为有理数集 Q Q Q上的二元运算， ∀ x , y ∈ Q \forall x,y \in Q ∀x,y∈Q， x ∘ y = x + y − x y x \circ y=x+y-xy x∘y=x+y−xy（1）判断 ∘ \circ ∘运算是否满足交换律和结合律，并说明理由。
（2）求出 ∘ \circ ∘运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。

例2： 下表给出了3个运算表，
（1）说明哪些运算是可交换的、可结合的、幂等的。
（2）求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元。

2 代数系统

2.1 代数系统的定义与实例

概念：
定义： 非空集合 S S S和 S S S上 k k k个一元或二元运算 f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k f1,f2,⋅⋅⋅,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作 < S , f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k > <S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k> <S,f1,f2,⋅⋅⋅,fk>。
注意在写出一个代数系统时，经常将二元运算排在一元运算的前面。

对于代数系统 V = < S , f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k > V=<S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k> V=<S,f1,f2,⋅⋅⋅,fk>，其中的集合 S S S称作载体， S S S和 f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k f1,f2,⋅⋅⋅,fk都是 V V V的成分。对于某些代数系统，具有某种特异元素（例如关于二元运算的单位元）也作为系统的性质。为了强调这一点，可以将这个特异元素作为系统的成分列出来。例如 < A , ∘ , e > <A,\circ,e> <A,∘,e>就是一个抽象的代数系统，其中 e e e是 ∘ \circ ∘运算的单位云，这时也称 e e e是代数常数。为了定义抽象的代数系统，除了列出它的成分之外，还需要用公理规定系统的性质，如二元运算满足某条算律，运算具有某种特异元素等。在上述代数系统 < A , ∘ , e > <A,\circ,e> <A,∘,e>中就可以规定 ∘ \circ ∘运算满足结合律。显然代数系统 < N , + , 0 > <N,+,0> <N,+,0>和 < A A , ∘ , I A > <A_A,\circ,I_A> <AA,∘,IA>都是这个抽象代数系统的具体实例。在不发生混淆的情况下，也可以用载体直接标记代数系统，如 Q , Z n Q,Z_n Q,Zn等。

例题：
例1： （1） < N , + > , < Z , + , ⋅ > , < R , + , ⋅ > <N,+>,<Z,+,\cdot>,<R,+,\cdot> <N,+>,<Z,+,⋅>,<R,+,⋅>是代数系统， + + +和 ⋅ \cdot ⋅分别表示普通加法和乘法。
（2） < M n ( R ) , + , ⋅ > <M_n(R),+,\cdot> <Mn(R),+,⋅>是代数系统， + + +和 ⋅ \cdot ⋅分别表示 n n n阶 ( n ≥ 2 ) (n \ge 2) (n≥2)实矩阵的加法和乘法。
（3） < Z n , ⊕ , ⊗ > <Z_n,\oplus,\otimes> <Zn,⊕,⊗>是代数系统， Z n = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n − 1 Z_n={0,1,\cdot \cdot \cdot,n-1} Zn=0,1,⋅⋅⋅,n−1， ⊕ \oplus ⊕和 ⊗ \otimes ⊗分别表示模 n n n的加法和乘法。
（4） < P ( S ) , ∪ , ∩ , ∼ > <P(S),\cup,\cap,\sim> <P(S),∪,∩,∼>也是代数系统， ∪ \cup ∪和 ∩ \cap ∩分别为集合的并和交，以 S S S为全集， ∼ \sim ∼为集合的绝对补。

2.2 代数系统的分类

概念：
定义：（1）如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统。
（2）如果两个同类型的代数系统对应的运算所规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统。

例题：
例1：

2.3 子代数系统与积代数系统

概念：
定义： 设 V = < S , f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k > V=<S,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k> V=<S,f1,f2,⋅⋅⋅,fk>是代数系统， B B B是 S S S的非空子集，如果 B B B对 f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k f1,f2,⋅⋅⋅,fk都是封闭的，且 B B B和 S S S含有相同的代数常数，则称 < B , f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f k > <B,f_1,f_2,\cdot \cdot \cdot,f_k> <B,f1,f2,⋅⋅⋅,fk>是 V V V的子代数系统，简称子代数。有时将子代数系统简记为 B B B。如果 B = S B=S B=S，则称 B B B是 V V V的平凡子代数；如果 B ⊂ S B \subset S B⊂S，则称子代数 B B B为 V V V的真子代数。

对任何代数系统 V V V，它的子代数一定存在，起码存在平凡子代数 V V V。如果 V V V的代数常数构成的集合 K K K关于 V V V中的所有运算封闭，这时也称 K K K为 V V V的平凡子代数。

当原来代数系统的公理指的是二元运算的算律（如交换律、结合律、幂等律、分类律、吸收律等），那么在它的子代数中也满足相同的算律，因此子代数与原来的代数系统是同种的代数系统。

定义： 设 V 1 = < A , ∘ > V_1=<A,\circ> V1=<A,∘>和 V 2 = < B , ∗ > V_2=<B,*> V2=<B,∗>是同类型的代数系统， ∘ \circ ∘和 ∗ * ∗为二元运算，在集合 A × B A \times B A×B上如下定义二元运算 ⋅ \cdot ⋅， ∀ < a 1 , b 1 > , < a 2 , b 2 > ∈ A × B \forall <a_1,b_1>,<a_2,b_2> \in A \times B ∀<a1,b1>,<a2,b2>∈A×B，有 < a 1 , b 1 > ⋅ < a 2 , b 2 > = < a 1 ∘ a 2 , b 1 ∗ b 2 > <a_1,b_1> \cdot <a_2,b_2>=<a_1 \circ a_2,b_1 * b_2> <a1,b1>⋅<a2,b2>=<a1∘a2,b1∗b2>，称 V = < A × B , ⋅ > V=<A \times B,\cdot> V=<A×B,⋅>为 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2的积代数，记作 V 1 × V 2 V_1 \times V_2 V1×V2。这时也称 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2为 V V V的因子代数。

根据定义不难看出积代数与原来的代数系统是同类型的，而且可以进一步证明积代数可以保持原来代数系统中的许多性质，如交换律、结合律、幂等律、分配律和吸收律等。但是有一条性质在积代数中不一定能够保持，那就是消去律。

除了保持算律以外，积代数也可以保持特异元素。

例题：
例1：
例如， N N N是 < Z , + > <Z,+> <Z,+>的子代数， N N N也是 < Z , + , 0 > <Z,+,0> <Z,+,0>的子代数。 N − 0 N-{0} N−0是 < Z , + > <Z,+> <Z,+>的子代数，但不是 < Z , + , 0 > <Z,+,0> <Z,+,0>的子代数，因为代数系统 < Z , + , 0 > <Z,+,0> <Z,+,0>中的代数常数 0 0 0不在 N − 0 N-{0} N−0中。

例2：
设 V = < Z , + , 0 > V=<Z,+,0> V=<Z,+,0>令 n Z = n Z ∣ z ∈ Z nZ={nZ|z \in Z} nZ=nZ∣z∈Z， n n n为给定的自然数，则 n Z nZ nZ是 V V V的子代数。当 n = 1 n=1 n=1和 0 0 0时， n Z nZ nZ等于 Z Z Z或等于 0 {0} 0，是 V V V的平凡的子代数，对于其他的 n n n， n Z nZ nZ都是 V V V的非平凡的真子代数。例如 2 Z = { 0 , ± 2 , ± 4 , ⋅ ⋅ ⋅ } 2Z=\{0,\pm 2,\pm 4,\cdot \cdot \cdot\} 2Z={0,±2,±4,⋅⋅⋅}就是 V V V的真子代数。

例3：
考虑代数系统 V = < R , + > V=<R,+> V=<R,+>，那么积代数 V × V = < R × R , + > V \times V=<R \times R,+> V×V=<R×R,+>，例如 < 1 , 3 > + < − 2 , 2 > = < − 1 , 5 > <1,3>+<-2,2>=<-1,5> <1,3>+<−2,2>=<−1,5>。

2.4 代数系统的同态与同构

概念：
定义： 设 V 1 = < A , ∘ > V_1=<A,\circ> V1=<A,∘>和 V 2 = < B , ∗ > V_2=<B,*> V2=<B,∗>是同类型的代数系统， f : V 1 → V 2 f:V_1 \to V_2 f:V1→V2，且 ∀ x , y ∈ A \forall x,y \in A ∀x,y∈A有 f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) f(x \circ y) = f(x) * f(y) f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称 f f f是 V 1 V_1 V1到 V 2 V_2 V2的同态映射，简称同态。
同态映射如果是单设，则称为单同态；
如果是满射，则称为满同态，这时称 V 2 V_2 V2是 V 1 V_1 V1的同态像，记作 V 1 ∼ V 2 V_1 \sim V_2 V1∼V2；
如果是双射，则称为同构，也称代数系统 V 1 V_1 V1同构于 V 2 V_2 V2，记作 V 1 ≅ V 2 V_1 \cong V_2 V1≅V2。
对于代数系统 V V V，它到自身的同态称为自同态。
类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构。

称 x x x为元素 y y y的一个原像，而y称为元素x的像。
如果当 Y Y Y中的元素都能在 X X X中找到原像，那我们就称这个映射为：满射。
当在映射中 X X X与 Y Y Y的关系，也就是像与原像的关系是一一对应时，我们就称之为：单射
当这个映射满足单射和，满射两个关系时，我们就称之为：双射

同态映射的概念可以用下图来说明。定义中等式的左边是 x x x与 y y y先运算，得到 x ∘ y x \circ y x∘y，然后将运算结果 x ∘ y x \circ y x∘y映到 V 2 V_2 V2中的 f ( x ∘ y ) f(x \circ y) f(x∘y)。等式右边是先将 x x x与 y y y映到 f ( x ) f(x) f(x)与 f ( y ) f(y) f(y)，然后将映射结果 f ( x ) f(x) f(x)与 f ( y ) f(y) f(y)在 V 2 V_2 V2中进行 ∗ * ∗运算。对于同态映射来说，无论 x x x与 y y y取什么值，这两种方式都会得到相同的结果。

例题：
例1：

3 几个典型的代数系统

3.1 半群与独异点

概念：
定义： （1）设 V = < S , ∘ > V=<S,\circ> V=<S,∘>是代数系统， ∘ \circ ∘为二元运算，如果 ∘ \circ ∘运算是可结合的，则称 V V V为半群。
            （2）设 V = < S , ∘ > V=<S,\circ> V=<S,∘>是半群，若 e ∈ S e \in S e∈S是关于 ∘ \circ ∘运算的单位元，则称 V V V是含幺半群，也称作独异点。有时也将独异点 V V V记作 V = < S , ∘ , e > V=<S,\circ,e> V=<S,∘,e>。

由于半群中的运算满足结合律，可以定义元素的幂。在半群 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>中， ∀ x ∈ S \forall x \in S ∀x∈S，规定 x 1 = x , x n + 1 = x n ∘ x , n ∈ Z + x^1=x,x^{n+1}=x^n \circ x,n \in Z^+ x1=x,xn+1=xn∘x,n∈Z+用数学归纳法不难证明 x x x的幂遵从以下运算规则 x n ∘ x m = x n + m , ( x n ) m = x n m , m , n ∈ Z + x^n \circ x^m=x^{n+m},{(x^n)}^m=x^{nm},m,n \in Z^+ xn∘xm=xn+m,(xn)m=xnm,m,n∈Z+类似地，可以定义独异点 < S , ∘ , e > <S,\circ,e> <S,∘,e>中元素的幂， ∀ x ∈ S \forall x \in S ∀x∈S，有 x 0 = e , x n + 1 = x n ∘ x , n ∈ N x^0=e,x^{n+1}=x^n \circ x,n \in N x0=e,xn+1=xn∘x,n∈N独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，但其中的 m m m和 n n n是自然数。

半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点。根据定义可以直接得到子半群与子独异点的判定方法：
设 V = < S , ∘ > V=<S,\circ> V=<S,∘>是半群， T ⊂ S T \subset S T⊂S， T T T非空，如果 T T T对 V V V中的运算 ∘ \circ ∘封闭，则 < T , ∘ > <T,\circ> <T,∘>是 V V V的子半群。
设 V = < S , ∘ , e > V=<S,\circ,e> V=<S,∘,e>是独异点， T ⊂ S T \subset S T⊂S， T T T非空，如果 T T T对 V V V中的运算 ∘ \circ ∘封闭，而且 e ∈ T e \in T e∈T，那么 < T , ∘ , e > <T,\circ,e> <T,∘,e>构成 V V V的子独异点。
对于子独异点，不但要求运算封闭，而且要求单位元 e e e也在子独异点中出现。

定义： （1）设 V 1 = < S 1 , ∘ > , V 2 = < S 2 , ∗ > V_1=<S_1,\circ>,V_2=<S_2,*> V1=<S1,∘>,V2=<S2,∗>是半群， f : S 1 → S 2 f:S_1 \to S_2 f:S1→S2。若对任意的 x , y ∈ S 1 x,y \in S_1 x,y∈S1有 f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) f(x \circ y)=f(x) * f(y) f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称 f f f为半群 V 1 V_1 V1到 V 2 V_2 V2的同态映射，简称同态。
            （2）设 V 1 = < S 1 , ∘ , e 1 > , V 2 = < S 2 , ∗ , e 2 > V_1=<S_1,\circ,e_1>,V_2=<S_2,*,e_2> V1=<S1,∘,e1>,V2=<S2,∗,e2>是独异点， f : S 1 → S 2 f:S_1 \to S_2 f:S1→S2。若对任意的 x , y ∈ S 1 x,y \in S_1 x,y∈S1有 f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) 且 f ( e 1 ) = e 2 f(x \circ y)=f(x)*f(y) 且f(e_1)=e_2 f(x∘y)=f(x)∗f(y)且f(e1)=e2则称 f f f为独异点 V 1 V_1 V1到 V 2 V_2 V2的同态映射，简称同态。
            因为半群和独异点只有一个二元运算，为了书写的简便，经常省略上述表达式中的算符 ∘ \circ ∘和 ∗ * ∗，而简记为 f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) f(xy)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)f(y)。

例题：
例1：

例2：

3.2 群

概念：
定义： 设 < G , ∘ > <G,\circ> <G,∘>是代数系统， ∘ \circ ∘为二元运算。如果 ∘ \circ ∘运算是可结合的，存在单位元 e ∈ G e \in G e∈G，并且对 G G G中的任何元素 x x x都有 x − 1 ∈ G x^{-1} \in G x−1∈G，则称 G G G为群。

定义： （1）若群 G G G是有穷集，则称 G G G是有限群，否则称为无限群。群 G G G的元素数称为群 G G G的解阶，有限群 G G G的阶记作 ∣ G ∣ |G| ∣G∣。
（2）只含单位元的群称为平凡群。
（3）若群 G G G中的二元运算是可交换的，则称 G G G为交换群或阿贝尔(Abel)群。

定义： 设 G G G是群， a ∈ G , n ∈ Z a \in G,n \in Z a∈G,n∈Z，则 a a a的 n n n次幂定义如下： a n = { e n = 0 a n − 1 a n > 0 ( a − 1 ) m n < 0 , n = − m a^n=\left\{\begin{matrix} e & n=0\\ a^{n-1}a & n>0\\ {(a^{-1})}^m & n<0,n=-m \end{matrix}\right. an=⎩⎨⎧ean−1a(a−1)mn=0n>0n<0,n=−m与半群和独异点不同，群中元素可以定义负整数次幂。

定义： 设 G G G是群， a ∈ G a \in G a∈G，使得等式 a k = e a^k=e ak=e成立的最小正整数 k k k称为 a a a的阶，记作 ∣ a ∣ = k |a|=k ∣a∣=k，这时称 a a a为 k k k阶元。若不存在这样的正整数 k k k，则称 a a a为无限阶元。

定理： 设 G G G为群，则 G G G中的幂运算满足：
（1） ∀ a ∈ G , ( a − 1 ) − 1 = a \forall a\in G,(a^{-1})^{-1}=a ∀a∈G,(a−1)−1=a.
（2） ∀ a , b ∈ G , ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 \forall a,b \in G,{(ab)}^{-1}=b^{-1}a^{-1} ∀a,b∈G,(ab)−1=b−1a−1.
（3） ∀ a ∈ G , a n a m = a n + m , n , m ∈ Z \forall a\in G,a^na^m=a^{n+m},n,m\in Z ∀a∈G,anam=an+m,n,m∈Z.
（4） ∀ a ∈ G , ( a n ) m = a n m , n , m ∈ Z \forall a \in G,(a^n)^m=a^{nm},n,m\in Z ∀a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z.
（5）若 G G G为交换群，则 ( a b ) n = a n b n (ab)^n=a^nb^n (ab)n=anbn.

定理： G G G为群， ∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀a,b∈G，方程 a x = b ax=b ax=b和 y a = b ya=b ya=b在 G G G中有解且仅有唯一解。

定理： G G G为群，则 G G G中适合消去律，即对任意 a , b , c ∈ G a,b,c \in G a,b,c∈G，有
（1）若 a b = a c ab=ac ab=ac，则 b = c b=c b=c。
（2）若 b a = c a ba=ca ba=ca，则 b = c b=c b=c。

定理： G G G为群， a ∈ G a \in G a∈G且 ∣ a ∣ = r |a|=r ∣a∣=r。设 k k k是整数，则
（1） a k = e a^k=e ak=e当且仅当 r ∣ k r|k r∣k。
（2） ∣ a − 1 ∣ = ∣ a ∣ |a^{-1}|=|a| ∣a−1∣=∣a∣。

定义： 设 G G G是群， H H H是 G G G的非空子集，如果 H H H关于 G G G中的运算构成群，则称 H H H是 G G G的子群，记作 H ≤ G H \le G H≤G。若 H H H是 G G G的子群，且 H ⊂ G H \subset G H⊂G，则称 H H H是 G G G的真子群，记作 H < G H<G H<G。

定理： 设 G G G为群， H H H是 G G G的非空子集，则 H H H是 G G G的子群当且仅当
（1） ∀ a , b ∈ H 有 a b ∈ H \forall a,b \in H有ab \in H ∀a,b∈H有ab∈H.
（2） ∀ a ∈ H 有 a − 1 ∈ H \forall a \in H 有 a^{-1} \in H ∀a∈H有a−1∈H.

定理： 设 G G G为群， H H H是 G G G的非空子集。 H H H是 G G G的子群当且仅当 ∀ a , b ∈ H 有 a b − 1 ∈ H \forall a,b \in H 有ab^{-1} \in H ∀a,b∈H有ab−1∈H。

定义： 设 G 1 , G 2 G_1,G_2 G1,G2是群， f : G 1 → G 2 f:G_1 \to G_2 f:G1→G2，若 ∀ a , b ∈ G 1 \forall a,b \in G_1 ∀a,b∈G1都有 f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) f(ab)=f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b)，则称 f f f是群 G 1 G_1 G1到 G 2 G_2 G2的同态映射，简称同态。

定义： 设 G G G是群，若存在 a ∈ G a \in G a∈G使得 G = { a k ∣ k ∈ Z } G=\{a^k|k \in Z\} G={ak∣k∈Z}，则称 G G G是循环群，记作 G = < a > G=<a> G=<a>，称 a a a为 G G G的生成元。
对于循环群 G = < a > G=<a> G=<a>，根据生成元 a a a的阶可以将它们分成两类： n n n阶循环群和无限循环群。
若 a a a是 n n n阶元，则 G = { a 0 = e , a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n − 1 } G=\{a^0=e,a^1,a^2,\cdot \cdot \cdot,a^{n-1}\} G={a0=e,a1,a2,⋅⋅⋅,an−1}，那么 ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n，称 G G G为 n n n阶循环群。
若 a a a是无限阶元，则 G = { a 0 = e , a ± 1 , a ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ } G=\{a^0=e,a^{\pm 1},a^{\pm 2},\cdot \cdot \cdot\} G={a0=e,a±1,a±2,⋅⋅⋅}，这时称 G G G为无限循环群。

定理： 设 G = < a > G=<a> G=<a>是循环群。
（1）若 G G G是无限循环群，则 G G G只有两个生成元，即 a a a和 a − 1 a^{-1} a−1。
（2）若 G G G是 n n n阶循环群，则 G G G含有 ϕ ( n ) \phi (n) ϕ(n)个生成元。这里的 ϕ ( n ) \phi (n) ϕ(n)是欧拉函数，对于任何小于 n n n且与 n n n互素的自然数 r r r， a r a^r ar是 G G G的生成元。
在数论中，对正整数 n n n，欧拉函数是小于 n n n的正整数中与 n n n互质的数的数目.

定理： 设 G = < a > G=<a> G=<a>是循环群，那么
（1） G G G的子群仍是循环群。
（2）若 G = < a > G=<a> G=<a>是无限循环群，则 G G G的子群除 e {e} e以外都是无限循环群。对于任何自然数 r , < a r > r,<a^r> r,<ar>都是 G G G的一个子群，且对于不同的 r r r，所得到的子群 < a r > <a^r> <ar>也不同。
（3）若 G = < a > G=<a> G=<a>是 n n n阶循环群，则对 n n n的每个正因子 d d d， G G G恰好含有一个 d d d阶子群，就是 < a n d > <a^{\frac{n}{d}}> <adn>。

定义： 设 S = { 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n } S=\{1,2,\cdot \cdot \cdot,n\} S={1,2,⋅⋅⋅,n}， S S S上的任何双射函数 σ : S → S \sigma :S \to S σ:S→S称为 S S S上的 n n n元置换。一般将 n n n元置换 σ \sigma σ记为 σ = ( 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ n σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ σ ( n ) ) \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdot\cdot\cdot & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdot\cdot\cdot & \sigma(n) \end{pmatrix} σ=(1σ(1)2σ(2)⋅⋅⋅⋅⋅⋅nσ(n))

定义： 设 σ , τ \sigma,\tau σ,τ是 n n n元置换， σ \sigma σ和 τ \tau τ的复合 σ ∘ τ \sigma \circ \tau σ∘τ也是 n n n元置换，称为 σ \sigma σ与 τ \tau τ的乘积，记作 σ τ \sigma \tau στ。
如果在两个 n n n元置换 σ \sigma σ和 τ \tau τ的作用下只有部分元素发生了改变，同时其他元素保持不变，并且在 σ \sigma σ和 τ \tau τ的作用下发生改变的元素彼此不同，那么可以证明这两个置换复合的结果与置换的次序无关，即 σ τ = τ σ \sigma \tau=\tau \sigma στ=τσ。

定义： 设 σ \sigma σ是 S = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n S={1,2,\cdot\cdot\cdot,n} S=1,2,⋅⋅⋅,n上的 n n n元置换。若 σ ( i 1 ) = i 2 , σ ( i 2 ) = i 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , σ ( i k − 1 ) = i k , σ ( i k ) = i 1 \sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\cdot\cdot\cdot,\sigma(i_{k-1})=i_k,\sigma(i_k)=i_1 σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋅⋅⋅,σ(ik−1)=ik,σ(ik)=i1且保持 S S S中的其他元素不变，则称 σ \sigma σ为 S S S上的 k k k阶轮换，记作 ( i 1 i 2 ⋅ ⋅ ⋅ i k ) (i_1 i_2 \cdot\cdot\cdot i_k) (i1i2⋅⋅⋅ik)。若 k = 2 k=2 k=2，称 σ \sigma σ为 S S S上的对换。

轮换： 设 S = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n S={1,2,\cdot\cdot\cdot,n} S=1,2,⋅⋅⋅,n，对于任何 S S S上的 n n n元置换 σ \sigma σ一定存在着一个有限序列 i 1 , i 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , i k , k ≥ 1 i_1,i_2,\cdot\cdot\cdot,i_k,k \ge 1 i1,i2,⋅⋅⋅,ik,k≥1（可以取 i 1 = 1 i_1=1 i1=1），使得 σ ( i 1 ) = i 2 , σ ( i 2 ) = i 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , σ ( i k − 1 ) = i k , σ ( i k ) = i 1 \sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,\cdot\cdot\cdot,\sigma(i_{k-1})=i_k,\sigma(i_k)=i_1 σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋅⋅⋅,σ(ik−1)=ik,σ(ik)=i1令 σ 1 = ( i 1 i 2 ⋅ ⋅ ⋅ i k ) {\sigma}_1=(i_1 i_2 \cdot\cdot\cdot i_k) σ1=(i1i2⋅⋅⋅ik)。它是从 σ \sigma σ中分解出来的第一个轮换。根据复合定义可将 σ \sigma σ写作 σ 1 σ ′ {\sigma}_1{\sigma}' σ1σ′，其中 σ ′ {\sigma}' σ′作用于 S − { i 1 , i 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , i k } S-\{i_1,i_2,\cdot\cdot\cdot,i_k\} S−{i1,i2,⋅⋅⋅,ik}上的元素。继续对 σ ′ {\sigma}' σ′进行类似的分解。由于 S S S中只有 n n n个元素，经过有限步以后，必得到 σ \sigma σ的轮换分解式 σ = σ 1 σ 2 ⋅ ⋅ ⋅ σ t \sigma={\sigma}_1{\sigma}_2\cdot\cdot\cdot{\sigma}_t σ=σ1σ2⋅⋅⋅σt。

对换： 除了表达成轮换之外，任何 n n n元置换还可以表示成对换的乘积。为此，只需证明任何轮换都可以表示成对换乘积就足够了。这可以由下述 k k k阶轮换表达式来证明： ( i 1 i 2 ⋅ ⋅ ⋅ i k ) = ( i 1 i 2 ) ( i 1 i 3 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( i 1 i k ) (i_1i_2\cdot\cdot\cdot i_k)=(i_1i_2)(i_1i_3)\cdot\cdot\cdot(i_1i_k) (i1i2⋅⋅⋅ik)=(i1i2)(i1i3)⋅⋅⋅(i1ik)。
如果一个 n n n元置换在它的对换表示式含有偶数个对换，则称为偶置换，否则称为奇置换。

考虑所有的 n n n元置换构成的集合 S n S_n Sn，显然 S n S_n Sn关于置换的乘法是封闭的，置换的乘法满足结合律，恒等置换 ( 1 ) (1) (1)是 S n S_n Sn中的单位元，对于任何 n n n元置换 σ ∈ S n \sigma \in S_n σ∈Sn，逆置换 σ − 1 {\sigma}^{-1} σ−1是 σ \sigma σ的逆元。这就证明了 S n S_n Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n n n元对称群。 n n n元对称群的子群称为 n n n元置换群。

例题：
例1：

例2：

例3：

例4：

例5：

例6：

例7：

例8：

例9：

例10：

例11：

例12：

3.3 环与域

概念：
定义： 设 < R , + , ⋅ > <R,+,\cdot> <R,+,⋅>是代数系统， + + +和 ⋅ \cdot ⋅是二元运算。如果满足以下条件：
（1） < R , + > <R,+> <R,+>构成交换群。
（2） < R , ⋅ > <R,\cdot> <R,⋅>构成半群。
（3） ⋅ \cdot ⋅运算关于 + + +运算适合分配律。
则称 < R , + , ⋅ > <R,+,\cdot> <R,+,⋅>是一个环。
为了叙述的方便，通常称 + + +运算为环中的加法， ⋅ \cdot ⋅运算为环中的乘法。环中加法单位元记作 0 0 0，乘法单位元（如果存在）记作 1 1 1。对任何元素 x x x，称 x x x的加法逆元为负元，记作 − x -x −x。若 x x x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x − 1 x^{-1} x−1。因此在环中写 x − y x-y x−y意味着 x + ( − y ) x+(-y) x+(−y)。

定理： 设 < R , + , ⋅ > <R,+,\cdot> <R,+,⋅>是环，则
（1） ∀ a ∈ R , a 0 = 0 a = 0 \forall a \in R,a0=0a=0 ∀a∈R,a0=0a=0.
（2）KaTeX parse error: Undefined control sequence: \inR at position 13: \forall a,b \̲i̲n̲R̲,(-a)b=a(-b)=-a….
（3） ∀ a , b , c ∈ R , a ( b − c ) = a b − a c , ( b − c ) a = b a − c a \forall a,b,c \in R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca ∀a,b,c∈R,a(b−c)=ab−ac,(b−c)a=ba−ca.
（4） ∀ a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n , b 1 , b 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , b m ∈ R ( n , m ≥ 2 ) \forall a_1,a_2,\cdot\cdot\cdot,a_n,b_1,b_2,\cdot\cdot\cdot,b_m \in R(n,m\ge 2) ∀a1,a2,⋅⋅⋅,an,b1,b2,⋅⋅⋅,bm∈R(n,m≥2). ( ∑ i = 1 n a i ) ( ∑ j = 1 m b j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i b j (\sum_{i=1}^{n}{a_i})(\sum_{j=1}^{m}{b_j})=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}a_ib_j (i=1∑nai)(j=1∑mbj)=i=1∑nj=1∑maibj从上述定理可以看出，环中加法的单位元恰好是乘法的零元。在环中进行计算，除了乘法不能使用交换律以外，其他都与普通数的运算相同。

定义： 设 R R R是环， S S S是 R R R的非空子集。若 S S S关于环 R R R的加法和乘法也构成一个环，则称 S S S为 R R R的子环。若 S S S是 R R R的子环，且 S ⊂ R S \subset R S⊂R，则称 S S S是 R R R的真子环。

定理： 设 R R R是环， S S S是 R R R的非空子集，若
（1） ∀ a , b ∈ S , a − b ∈ S \forall a,b \in S,a-b \in S ∀a,b∈S,a−b∈S.
（2） ∀ a , b ∈ S , a b ∈ S \forall a,b \in S,ab \in S ∀a,b∈S,ab∈S.
则 S S S是 R R R的子环。

定义： 设 R 1 R_1 R1和 R 2 R_2 R2是环。 f : R 1 → R 2 f:R_1 \to R_2 f:R1→R2，若对于任意的 x , y ∈ R 1 x,y \in R_1 x,y∈R1有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y) f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)成立，则称 f f f是环 R 1 R_1 R1到 R 2 R_2 R2的同态映射，简称环同态。

定义： 设 < R , + , ⋅ > <R,+,\cdot> <R,+,⋅>是环，
（1）若环中乘法 ⋅ \cdot ⋅适合交换律，则称 R R R是交换环。
（2）若环中乘法 ⋅ \cdot ⋅存在单位元，则称 R R R是含幺环。
（3）若 ∀ a , b ∈ R , a b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 \forall a,b \in R,ab=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0 ∀a,b∈R,ab=0⇒a=0∨b=0，则称 R R R是无零因子环。
（4）若 R R R既是交换环、含幺环，也是零因子环，则称 R R R是整环。
解释一下零因子的概念。作为数的乘法，如果 a b = 0 ab=0 ab=0，那么一定有 a = 0 a=0 a=0或者 b = 0 b=0 b=0。但是，作为一般环的乘法不一定满足这条性质。有时候两个不为0的元素乘起来却等于0.例如在模6整数环中，有 3 ⊗ 2 = 0 3 \otimes 2=0 3⊗2=0，而3和2都不是乘法的零元。这时称3为左零因子，2为右零因子。这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环。

定义： 设 R R R是整环，且 R R R中至少含有两个元素。若 ∀ a ∈ R ∗ \forall a \in R^* ∀a∈R∗，其中 R ∗ = R − { 0 } R^*=R-\{0\} R∗=R−{0}，都有 a − 1 ∈ R a^{-1}\in R a−1∈R，则称 R R R是域。

例题：
例1：

例2：

例3：

例4：

例5：

例6：

例7：

例8：

3.4 格与布尔代数（用到的时候再来补，目前用不到）

概念：

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【离散数学第三版第十四章】代数系统

代数系统

1 二元运算及其性质

1.1 二元运算与一元运算的定义

1.2 二元运算的性质

2 代数系统

2.1 代数系统的定义与实例

2.2 代数系统的分类

2.3 子代数系统与积代数系统

2.4 代数系统的同态与同构

3 几个典型的代数系统

3.1 半群与独异点

3.2 群

3.3 环与域

3.4 格与布尔代数（用到的时候再来补，目前用不到）

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